§ 1 Алгоритм решения модульного линейного неравенства с помощью графиков
На этом занятии мы научимся строить графики модульной линейной функции, познакомимся с алгоритмом решения линейного модульного неравенства с помощью графиков и разберём примеры решения модульных линейных неравенств графическим способом.
Вспомним аналитическое определение модуля: модулем числа а называется само число а, если оно неотрицательное и противоположное числу а, если оно отрицательное.
Следовательно, модульная функция у = |x| будет кусочно-линейной функцией, так как её составляющими являются две линейные функции у = х и у = -х, определённые на х ≥ 0 и х < 0 соответственно. Графиком этой функции являются два луча, образующие угол с вершиной в начале координат, проходящие через точки (-1; 1) и (1; 1).
Рассмотрим линейное модульное неравенство|x- р| > q.
В этом неравенстве может стоять не только знак больше, но и знак меньше, не больше или не меньше.
Решим это неравенство графически. Для этого надо:
1. В одной системе координат построить графики функций у = |x - p| и у = q. Графиком у = |x- p| является угол с вершиной в точке (р; 0) и сторонами у = х - р и у = -х + р, направленными вверх, так как перед модулем нет знака, а значит подразумевается знак "+". Если перед модулем стоит знак "-", то стороны угла должны быть направлены вниз.
2. Выделить ту часть графика, которая соответствует знаку неравенства: в неравенстве
|x- p| > q знак больше надо понимать, что точки графика модульной функции у = |x- p| должны быть выше графика у = q. В этом случае и во всех строгих неравенствах точка пересечения графиков не входит в область решения. Нестрогие знаки неравенства предполагают включение точки пересечения графиков в область решения модульного неравенства.
3.Решением исходного модульного неравенства являются все абсциссы точек, то есть значения х, выделенной области графика.
§ 2 Примеры решения модульных линейных неравенств графическим способом
Рассмотрим примеры решения модульных линейных неравенств с помощью графиков.
ПРИМЕР 1. Решить неравенство |x + 3| ≤ 5 с помощью графиков.
1шаг.В одной системе координат построим графики функций у = |x + 3| и у = 5. Графиком модульной линейной функции является угол с вершиной в точке (-3;0) и сторонами у = х + 3 и у = -х - 3. Графиком постоянной линейной функции у = 5 является прямая, параллельная оси абсцисс Ох и проходящая через точку (0; 5).
2 шаг. В неравенстве стоит знак неравенства не больше, это означает, что на графике надо выделить точки пересечения графиков и ту часть угла, которая расположена ниже прямой.
3 шаг. Определим решение неравенства. Для этого найдём все абсциссы точек выделенной области графика. Получаем, что решением неравенства будут все значения х, принадлежащие отрезку от -8 до 2 включительно. Ответ: -8 ≤ х ≤ 2.
ПРИМЕР 2. Решить неравенство |5 - 2x| > - 3 с помощью графиков.
Приведём неравенство к виду |x - p| > q. Для этого обе части неравенства разделим на модуль числа -2. Получаем неравенство |x - 2,5| > -1,5. Теперь пошагово выполним действия алгоритма решения модульного неравенства графическим способом.
1 шаг. В одной системе координат построим графики функций у = |x - 2,5| и у = -1,5. Графиком модульной линейной функции является угол с вершиной в точке (2,5; 0) и сторонами у = х - 2,5 и у = 2,5 - х, направленными вверх. Графиком у = - 1,5 является прямая, параллельная оси абсцисс Ох и проходящая через точку (0; - 1,5).
2 шаг. В неравенстве стоит знак больше, это означает, что на графике надо выделить ту часть угла, которая расположена выше прямой, исключив точки пересечения графиков.
3 шаг. На чертеже видно, что точки пересечения графиков отсутствуют, и весь график модульной функции расположен выше прямой. Это означает, что все точки угла войдут в выделенную область решения неравенства. Таким образом, решением неравенства является любое действительное число. В математике это утверждение моделируется в символическую запись: х принадлежит R. Ответ: x∊ R
ПРИМЕР 3. Решите неравенство -|5x -10| < - 17 с помощью графиков.
Данное неравенство можно решить двумя приёмами. Первый приём: обе части неравенства умножить на -1, при этом не забыв сменить знак неравенства меньше на противоположный знак больше, а затем полученное неравенство |5x - 10| > 17 решить по образцу примеров, рассмотренных выше. Второй приём: обе части неравенства разделить на модуль числа 5 и к вновь полученному неравенству применить алгоритм решения модульного линейного неравенства вида |x - p| < q. Решим неравенства вторым приёмом. Поделив обе части исходного неравенства на |5|, имеем -|x - 2| < - 3,4. Теперь выполним первый шаг алгоритма решения.
1 шаг. В одной системе координат построим графики функций у = -|x - 2| и у = - 3,4. Графиком модульной линейной функции у = -|x- 2| является угол с вершиной в точке (2; 0) и сторонами у = х - 2 и у = 2 - х, направленными вниз, так как перед модулем стоит знак минус. Графиком постоянной линейной функции является прямая у = - 3,4.
2 шаг. Выделим на графике ту часть угла, которая расположена ниже прямой, не включая точки пересечения графиков, так как в неравенстве стоит знак меньше.
3 шаг. Определим абсциссы точек выделенной части графика модульной линейной функции. Таким образом, решением исходного неравенства являются два открытых луча меньше -1,4 и больше 5,4. Ответ: x ∊ (-∞;-1,4) ∪ (5,4; +∞).
На этом занятии мы познакомились с алгоритмом решения модульного линейного неравенства с помощью графиков и рассмотрели примеры решения модульных линейных неравенств графическим способом.
Список использованной литературы:
Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x
, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a
, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.
Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.
Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства .
Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x . Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.
Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 .
Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0 .
Пример.
Решите неравенство 3·x+12≤0 .
Решение.
Для данного линейного неравенства имеем a=3 и b=12 . Очевидно, коэффициент a при переменной x отличен от нуля. Воспользуемся соответствующим алгоритмом решения, приведенным выше.
Во-первых, переносим слагаемое 12 в правую часть неравенства, не забывая изменить его знак, то есть, в правой части окажется −12 . В результате приходим к равносильному неравенству 3·x≤−12 .
И, во-вторых, делим обе части полученного неравенства на 3 , так как 3 – число положительное, то знак неравенства не изменяем. Имеем (3·x):3≤(−12):3 , что то же самое x≤−4 .
Полученное элементарное неравенство x≤−4 равносильно исходному линейному неравенству и является его искомым решением.
Итак, решением линейного неравенства 3·x+12≤0 является любое действительное число, меньшее или равное минус четырем. Ответ можно записать и в виде числового промежутка , отвечающего неравенству x≤−4 , то есть, как (−∞, −4] .
Приобретя сноровку в работе с линейными неравенствами, их решения можно будет записывать кратко без пояснений. При этом сначала записывают исходное линейное неравенство, а ниже – равносильные ему неравенства, получающиеся на каждом шаге решения:
3·x+12≤0
;
3·x≤−12
;
x≤−4
.
Ответ:
x≤−4 или (−∞, −4] .
Пример.
Укажите все решения линейного неравенства −2,7·z>0 .
Решение.
Здесь коэффициент a при переменной z равен −2,7 . А коэффициент b отсутствует в явном виде, то есть, он равен нулю. Поэтому, первый шаг алгоритма решения линейного неравенства с одной переменной выполнять не нужно, так как перенос нуля из левой части в правую не изменит вид исходного неравенства.
Остается разделить обе части неравенства на −2,7 , не забыв изменить знак неравенства на противоположный, так как −2,7 – отрицательное число. Имеем (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7) , и дальше z<0 .
А теперь кратко:
−2,7·z>0
;
z<0
.
Ответ:
z<0 или (−∞, 0) .
Пример.
Решите неравенство 
.
Решение.
Нам нужно решить линейное неравенство с коэффициентом a
при переменной x
, равным −5
, и с коэффициентом b
, которому отвечает дробь −15/22
. Действуем по известной схеме: сначала переносим −15/22
в правую часть с противоположным знаком, после чего выполняем деление обеих частей неравенства на отрицательное число −5
, изменяя при этом знак неравенства:
В последнем переходе в правой части используется 
, затем выполняется 
.
Ответ:
Теперь переходим к случаю, когда a=0 . Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства . Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥) :
А теперь разберемся с этим на примерах.
Пример.
Решите неравенство 0·x+7>0 .
Решение.
Для любого значения переменной x линейное неравенство 0·x+7>0 обратится в числовое неравенство 7>0 . Последнее неравенство верное, следовательно, любое число является решением исходного неравенства.
Ответ:
решением является любое число или (−∞, +∞) .
Пример.
Имеет ли решения линейное неравенство 0·x−12,7≥0 .
Решение.
Если подставить вместо переменной x любое число, то исходное неравенство обратиться в числовое неравенство −12,7≥0 , которое неверное. А это значит, что ни одно число не является решением линейного неравенства 0·x−12,7≥0 .
Ответ:
нет, не имеет.
В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.
Пример.
Какое из линейных неравенств 0·x+0>0 и 0·x+0≥0 не имеет решений, а какое – имеет бесконечно много решений?
Решение.
Если вместо переменной x подставить любое число, то первое неравенство примет вид 0>0 , а второе – 0≥0 . Первое из них неверное, а второе – верное. Следовательно, линейное неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений, а именно, его решением является любое число.
Ответ:
неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений.
Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.
Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x . В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.
Метод интервалов подразумевает
Соберем эти моменты в алгоритм , раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:
Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.
Пример.
Решите неравенство −3·x+12>0 .
Решение.
Коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Согласно алгоритму, сначала находим корень уравнения −3·x+12=0
, −3·x=−12
, x=4
. Дальше изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точку с координатой 4
, причем эту точку делаем выколотой, так как решаем строгое неравенство:
Теперь определяем знаки на промежутках. Для определения знака на промежутке (−∞, 4)
можно вычислить значение функции y=−3·x+12
, например, при x=3
. Имеем −3·3+12=3>0
, значит, на этом промежутке знак +. Для определения знака на другом промежутке (4, +∞)
можно вычислить значение функции y=−3·x+12
, к примеру, в точке x=5
. Имеем −3·5+12=−3<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то изображаем штриховку над промежутком со знаком +, чертеж принимает вид
По полученному изображению делаем вывод, что искомым решением является (−∞, 4) или в другой записи x<4 .
Ответ:
(−∞, 4) или x<4 .
Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0
и 0,5·x−1≥0
, их решениями являются соответственно x<2
, x≤2
, x>2
и x≥2
, а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1
.
Несложно заметить, что
Графический способ решения неравенств , в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b , а правой части – y=0 , совпадающая с осью Ox .
Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом :
Пример.
Решите неравенство 
графически.
Решение.
Построим эскиз графика линейной функции 
. Это прямая, которая убывает, так как коэффициент при x
– отрицательный. Еще нам понадобится координата точки его пересечения с осью абсцисс, она является корнем уравнения 
, который равен . Для наших нужд можно даже не изображать ось Oy
. Так наш схематический чертеж будет иметь такой вид
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересует промежуток, на котором график функции выше оси Ox
. Для наглядности выделим эту часть графика красным цветом, а чтобы легко определить соответствующий этой части промежуток, подсветим красным цветом часть координатной плоскости, в которой расположена выделенная часть графика, так, как на рисунке ниже:
Интересующий нас промежуток представляет собой часть оси Ox
, оказавшуюся подсвеченной красным цветом. Очевидно, это открытый числовой луч 
. Это и есть искомое решение. Заметим, что если бы мы решали неравенство не со знаком >, а со знаком нестрогого неравенства ≥, то в ответ пришлось бы добавить , так как в этой точке график функции совпадает с осью Ox
.y=0·x+7
, что то же самое y=7
, задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси Ox
и лежащую выше нее. Следовательно, неравенство 0·x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
А графиком функции y=0·x+0 , что то же самое y=0 , является прямая, совпадающая с осью Ox . Следовательно, решением неравенства 0·x+0≥0 является множество всех действительных чисел.
Ответ:
второе неравенство, его решением является любое действительное число.
Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным .
В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств
, а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены
, или преобразуются к ним путем и . Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0
, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x
, 
.
Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0 . Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x , после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2 , дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0 , наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0 . Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.
Из-за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.
Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.
Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:
Пример.
Решите неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 .
Решение.
Сначала раскроем скобки, в результате придем к неравенству 5·x+15+x≤6·x−18+1 . Теперь приведем подобные слагаемые: 6·x+15≤6·x−17 . Дальше переносим слагаемые с левую часть, получаем 6·x+15−6·x+17≤0 , и снова приводим подобные слагаемые (что приводит нас к линейному неравенству 0·x+32≤0 ) и имеем 32≤0 . Так мы пришли к неверному числовому неравенству, откуда делаем вывод, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ:
нет решений.
В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 5 2·x−1 ≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0 . Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.
Список литературы.
Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.
Навигация по странице.
Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых
Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .
Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).
Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .
Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .
В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):
На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox
в двух точках, абсциссы которых есть x 1
и x 2
. Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена
a·x 2 +b·x+c
(при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1
и x 2
, причем приняли, что x 1
Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.
Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):
Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .
А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )
где x 1
и x 2
– корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
, причем x 1 По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0)
, (x 0 , ∞)
. Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом. Делаем выводы: при a>0
и D=0
где x 0
- корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
. Очевидно, парабола расположена выше оси Ox
на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox
, нет точки касания). Таким образом, при a>0
и D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0
и a·x 2 +b·x+c≥0
является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений.
Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0
. Представленному случаю отвечает a>0
(ветви направлены вверх) и D=0
(квадратный трехчлен имеет один корень x 0
). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4
, здесь a=1>0
, D=(−4) 2 −4·1·4=0
и x 0 =2
.
В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0
(ветви направлены вверх) и D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0
, D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.
Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :
На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:
Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма
они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.
Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.
Пример.
Решите неравенство 
.
Решение.
Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции 
. Коэффициент при x 2
равен 2
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена 
. Имеем 
. Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: 
и 
, то есть, x 1 =−3
и x 2 =1/3
.
Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами −3
и 1/3
. Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):
Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.
Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .
Ответ:
[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .
Пример.
Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .
Решение.
По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1
, поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1
. Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: 
и 
, x 1 =7
и x 2 =9
. Так парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами 7
и 9
(исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:
Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:
По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .
Ответ:
(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .
При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.
Пример.
Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?
Решение.
Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9
. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2
положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7
, так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0
, откуда
или 0,7
в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:
Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .
Ответ:
данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .
Пример.
Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .
Решение.
Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2
отрицательный, −1
. Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16
, имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0
и дальше x 0 =−4/(−1)
, x 0 =4
. Итак, парабола касается оси Ox
в точке с абсциссой 4
. Выполним чертеж:
Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.
В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.
Ответ:
(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .
Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.
Пример.
Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .
Решение.
Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a
равен 3
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12
. Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox
общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:
Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.
Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.
Ответ:
нет решений или в другой записи ∅.
Список литературы.
График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения). Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости. С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства.
Решите неравенство. Для этого изолируйте переменную при помощи тех же алгебраических приемов, которыми пользуетесь при решении любого уравнения. Помните, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число (или член), поменяйте знак неравенства на противоположный.
Нарисуйте числовую прямую. На числовой прямой отметьте найденное значение (переменная может быть меньше, больше или равна этому значению). Числовую прямую рисуйте соответствующей длины (длинную или короткую).
Нарисуйте кружок, обозначающий найденное значение. Если переменная меньше ( < {\displaystyle <} ) или больше ( > {\displaystyle >} ) этого значения, кружок не закрашивается, потому что множество решений не включает это значение. Если переменная меньше или равна ( ≤ {\displaystyle \leq } ) или больше или равна ( ≥ {\displaystyle \geq } ) этому значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.
На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений. Если переменная больше найденного значения, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если переменная меньше найденного значения, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного.
Решите неравенство (найдите значение y {\displaystyle y} ). Чтобы получить линейное уравнение, изолируйте переменную на левой стороне при помощи известных алгебраических методов. В правой части должна остаться переменная x {\displaystyle x} и, возможно, некоторая постоянная.
На координатной плоскости постройте график линейного уравнения. постройте график , как строите график любого линейного уравнения. Нанесите точку пересечения с осью Y, а затем при помощи углового коэффициента нанесите другие точки.
Проведите прямую. Если неравенство строгое (включает знак < {\displaystyle <} или > {\displaystyle >} ), проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой. Если неравенство нестрогое (включает знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } ), проведите сплошную прямую, потому что множество решений включает значения, лежащие на прямой.
Заштрихуйте соответствующую область.
Если неравенство имеет вид y > m x + b {\displaystyle y>mx+b}
, заштрихуйте область над прямой. Если неравенство имеет вид y < m x + b {\displaystyle y
Определите, что данное неравенство является квадратным. Квадратное неравенство имеет вид a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . Иногда неравенство не содержит переменную первого порядка ( x {\displaystyle x} ) и/или свободный член (постоянную), но обязательно включает переменную второго порядка ( x 2 {\displaystyle x^{2}} ). Переменные x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} должны быть изолированы на разных сторонах неравенства.
На координатной плоскости постройте график. Для этого преобразуйте неравенство в уравнение и постройте график , как строите график любого квадратного уравнения. Помните, что график квадратного уравнения является параболой.
Начальный уровень
Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Ты скажешь «как так?» чертить что-то, да и что чертить? Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Приступим? Начнем с уравнений!
Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем - все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно - в другую и вуаля! Мы нашли корень. Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.
Итак, у тебя есть уравнение:
Как его решить?
Вариант 1
, и самый распространенный - перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:
А теперь строим. Что у тебя получилось?
Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата точки пересечения графиков:
Наш ответ -
Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число!
Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:
В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:
Построил? Смотрим!
Что является решением на этот раз? Все верно. Тоже самое - координата точки пересечения графиков:
И, снова наш ответ - .
Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее... Например, графическое решение квадратных уравнений.
Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:
Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.
Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.
Просто строим параболу по данному уравнению:
Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:
Ты скажешь «Стоп! Формула для очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!
Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:
Точно такой же ответ? Молодец! И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, .
Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:
Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:
Возвращаемся к нашей параболе. Для нашего случая точка. Нам необходимо еще две точки, соответственно, можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней? Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при и.
Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:
Как ты думаешь, что является решением уравнения? Правильно, точки, в которых, то есть и. Потому что.
И если мы говорим, что, то значит, что тоже должен быть равен, или.
Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!
Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем - посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!
Возьмем все тоже наше уравнение: , но запишем его несколько по-другому, а именно:
Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.
Построим отдельно две функции:
Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:
Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по, которые получились при пересечении двух графиков и, то есть:
Соответственно, решением данного уравнения являются:
Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:
Что у тебя получилось? Сравним наши графики:
По графикам видно, что ответами являются:
Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.
Теперь попробуем решить следующее:
Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.
В этот раз давай построим 2 следующих графика:
Осознал? Теперь займись построением.
Вот что вышло у меня:
Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения?
Правильно, и. Вот и подтверждение:
Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?
Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения одно удовольствие!
Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:
Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!
Теперь посмотрим, что у тебя вышло:
Соответственно:
Ну и строим:
Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является - .
Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.
Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы. Один график - одно уравнение, второй график - другое уравнение. Все предельно просто!
Начнем с самого простого - решение систем линейных уравнений.
Допустим, у нас есть следующая система:
Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с, а справа - что связано с. Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:
А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой: в системе есть и, и … Намек понял?
Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только, как при решении уравнений! Еще один важный момент - правильно их записать и не перепутать, где у нас значение, а где значение! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:
И ответы: и. Сделай проверку - подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?
А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:
Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:
А теперь так вообще дело за малым - построил быстренько и вот тебе решение! Строим:
Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!
Все сделал? Сравни с моими записями:
Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:
Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:
Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.
Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!
Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:
Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:
А теперь еще раз посмотри на систему:
Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика - это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!
После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни - по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!
Начнем мы, как обычно с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:
Для начала проведем простейшие преобразования - раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:
Неравенство нестрогое, поэтому - не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее, так как больше, больше и так далее:
Ответ:
Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:
Нарисуем в системе координат функцию.
Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.
Все решения данного неравенства «затушеваны» оранжевым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области - и есть решения.
Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.
Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции.
А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).
В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:
Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу - решим графически неравенство.
Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.
Записываем нашу параболу как функцию:
По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):
Посчитал? Что у тебя получилось?
Теперь возьмем еще две различных точки и посчитаем для них:
Начинаем строить одну ветвь параболы:
Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:
А теперь возвращаемся к нашему неравенству.
Нам необходимо, чтобы было меньше нуля, соответственно:
Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем - «выкалываем».
Ответ:
Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:
Возвращаемся к нашему неравенству и отмечаем нужные нам промежутки:
Согласись, это намного быстрее.
Запишем теперь ответ:
Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.
Умножим левую и правую части на:
Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: .
Справился?
Смотри, как график получился у меня:
Ответ: .
Теперь перейдем к более сложным неравенствам!
Как тебе такое:
Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!
Первое, с чего мы начнем, это с построения двух графиков:
Я не буду расписывать для каждого таблицу - уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).
Расписал? Теперь строй два графика.
Сравним наши рисунки?
У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть. Смотри, что получилось в итоге:
А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!
На каких промежутках по оси у нас находится выше, чем? Верно, . Это и есть ответ!
Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!
Алгоритм решения уравнений с использованием графиков функций:
Более подробно о построении графиков функций, смотри в теме « ».
