Инструкция
Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров с будет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).
Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак "+" меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа "6" отнимается меньшее - "3", после чего ответу присваивается знак большего, то есть "-".
2) -3+6=3. Этот можно записать по- ("6-3") или по принципу "из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули и результату ставиться знак "минус".
Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и получает общий знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на "+", далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа - знак большего числа.
Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с ответу присваивается знак "минус", если числа с одинаковыми знаками - у результата всегда знак "плюс".1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Источники:
Как решать примеры ? С таким вопросом часто обращаются дети к родителям, если уроки требуется сделать дома. Как правильно объяснить ребенку решение примеров на сложение и вычитание многозначных чисел? Попробуем в этом разобраться.
Вам понадобится
Инструкция
Прочитайте пример. Для этого каждое многозначное разбить на классы. Начиная с конца числа, отсчитываем по три цифры и ставим точку (23.867.567). Напомним, что первые три цифры с конца числа к единиц, следующие три - к классу , далее идут миллионы. Читаем число: двадцать три восемьсот шестьдесят семь тысяч шестьдесят семь.
Запишите пример . Обратите внимание, что единицы каждого разряда записываются строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.
Выполните сложение или вычитание. Начинайте выполнять действие с единиц. Результат записывайте под тем разрядом, действие с которым выполняли. Если получилось число(), то единицы записываем на месте ответа, а число десятков прибавляем к единицам разряда. Если количество единиц какого-либо разряда в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимаем 10 единиц следующего разряда, выполняем действие.
Прочитайте ответ.
Видео по теме
Обратите внимание
Запретите ребенку использование калькулятора даже для проверки решения примера. Сложение проверяется вычитанием, а вычитание - сложением.
Если ребенок хорошо усвоит приемы письменных вычислений в пределах 1000, то действия с многозначными числами, выполненные по-аналогии, не вызовут затруднений.
Устройте ребенку соревнование: сколько примеров он может решить за 10 минут. Такие тренировки помогут автоматизировать вычислительные приемы.
Умножение - одна из четырех основных математических операций, которая лежит в основе многих более сложных функций. При этом фактически умножение основывается на операции сложения: знание об этом позволяет правильно решить любой пример.
Для понимания сущности операции умножения необходимо принять во внимание, что в ней участвуют три основных компонента. Один из них носит название первого множителя и представляет собой число, которое подвергается операции умножения. По этой причине у него имеется второе, несколько менее распространенное название - «множимое». Второй компонент операции умножения принято называть вторым множителем: он представляет собой число, на которое умножается множимое. Таким образом, оба эти компонента носят название множителей, что подчеркивает их равноправный статус, а также то, что их можно поменять местами: результат умножения от этого не изменится. Наконец, третий компонент операции умножения, получающийся в ее результате, носит название произведения.
Видео по теме
Источники:
Умножение - одна из четырех основных арифметических операций, которая часто встречается как в учебе, так и в повседневной жизни. Как можно быстро перемножить два числа?
Основу самых сложных математических вычислений составляют четыре основных арифметических операции: вычитание, сложение, умножение и деление. При этом, несмотря на свою самостоятельность, эти операции при ближайшем рассмотрении оказываются связанными между собой. Такая связь существует, например, между сложением и умножением.
При этом следует помнить, что сущность операции умножения фактически основывается на сложении: для ее осуществления необходимо сложить между собой определенное количество первых множителей, причем количество слагаемых этой суммы должно быть равно второму множителю. Помимо вычисления самого произведения двух рассматриваемых множителей, этот алгоритм можно использовать также для проверки получившегося результата.
Кроме того, необходимо помнить, что в отношении операции умножения действует так называемый переместительный закон, который устанавливает, что от изменения мест множителей в первоначальном примере его результат не изменится. Таким образом, можно 8 раз сложить цифру 4, получив в результате то же произведение - 32.
Видео по теме
Правильно ли мы понимаем умножение?
"- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
- Осталась ваша буква И".(Из к/ф "Отроки во Вселенной")
Почему при умножении числа на ноль получается ноль?
7 * 0 = 0
Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?
7 * (-3) = + 21
Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.
Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!
Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой...
Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.
7 - множимое. 3 - множитель. 21- произведение.
По официальной формулировке:
По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.
Исправим формулировку умножения
Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.
Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
А если мы будем умножать на три минус семь?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.
По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются "правила знаков" при умножении, когда множитель отрицательный.
7 * (-3) - должно быть после нуля три знака "минус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - снова должно быть после нуля три знака "минус" =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Умножение на ноль
7 * 0 = 0 + ... нет операций прибавления к нулю.
Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.
Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух "правил знаков" (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.
Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.
Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков "+" или "-" в правой части равенства.
Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Математики согласны, что возведение числа в положительную степень - это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень - это многократное деление единицы.
Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет "правила знаков", умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.
Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.
15: 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)
Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.
Разделить число 15 на 5 - значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.
Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков "минус". Их три.
15: 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (деление 15: 5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)
Деление с остатком.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17: 5 = 3 и 2 остаток
Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Смотрим разницу формулировок на калькуляторе
Существующая формулировка умножения (три слагаемых).
10 + 10 + 10 = 30
Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).
0 + 10 = = = 30
(Три раза нажимаем "равняется".)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.
Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Что значит знак минус у тройки? Может так?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Опс... Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).
С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.
Правила знаков при сложении и вычитании
Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.
Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.
Что такое "минус", "отрицательный"?
Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов... Даже синус по своей природе может быть только положительным.
Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает "минус"?
Минус означает противоположное направление. Левый - правый. Верх - низ. По часовой стрелке - против часовой стрелки. Вперед - назад. Холодно - горячо. Легкий - тяжелый. Медленно - быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.
В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.
"Минус бесконечности" в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие "минус".
Итак, "минус" обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.
Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.
Для понимания правил, нам нужно разделить:
Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.
Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак "плюс"). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак "минус").
Пример. Схема в нижнем правом углу.
Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус - знак числа на вертикальной оси.
Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.
Операция вычитания
дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.
Поэтому два рядом стоящих знака "минус" можно заменить одним знаком "плюс".
Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти... Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.
Примечание.
Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании , полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках - это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.
Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.
Правила 1 и 3 (по визуализации) - дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok
Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.
Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:
Два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);
Два правила, по которым можно не писать знак "плюс" у положительного числа.
Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.
Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.
1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.
В.Козаренко
Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике . Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков . Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.
Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.
С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием? С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.
Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.
Рассмотрим пример , 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные - в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных - в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.
Что мы видим?
Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.
Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Почему минус на минус дает плюс?
Минус на минус дает плюс потому,что это школьное правило. На данный момент точного ответа почему по моему нет. Это правило и оно существует уже много лет. Просто надо запомнить щепка на щепку дает прищепку.
Из школьного курса математики мы знаем, что минус на минус дает плюс. Есть и упрощенное, шутливое объяснение этого правила: минус это одна черта, два минуса две черты, плюс как раз состоит из 2-х черточек. Поэтому то минус на минус и дает знак плюса.
Я считаю так: минус это палка - добавить ещ один минус палку - то получится две палки, а если их соединить крест на крест то поучится знак +, это я так сказала сво мнение по поводу вопроса: минус на минус дат плюс.
Минус на минус дает плюс не всегда, даже в математике. Но в основном я сравниваю это утверждение именно с математикой, там это чаще всего встречается. Еще говорят лом ломом вышибают - это тоже как то у меня ассоциируется с минусами.
Представьте, что вы взяли в долг 100 рублей. Теперь ваш счет: -100 рублей. Потом вы этот долг вернули. Вот и получается что вы уменьшили (-) свой долг (-100) на такое же количество денег. Получаем: -100-(-100)=0
Минус указывает на противоположность: число, противоположное 5 - это -5. А вот -(-5) - это число противоположное противоположному, т.е. 5.
Как в анекдоте:
1й -Где у вас тут противоположная сторона улицы?
2й - на той стороне
1й - а там сказали, что на этой...
Представим весы с двумя чашами. То, что на правой чаше всегда имеет знак плюс, на левой чаше - минус. Теперь, умножение на число со знаком плюс будет означать, что оно происходит на той же чаше, а умножение на число со знаком минус будет означать, что результат переносится на другую чашу. Примеры. Умножаем 5 яблок на 2. Получаем на правой чаше 10 яблок. Умножаем - 5 яблок на 2, ролучаем 10 яблок на левой чаше, то есть -10. Тепрь умножаем -5 на -2. Это значит 5 яблок на левой чаше умножили на 2 и переложили на правую чашу, то есть ответ 10. Интересно, что умножение плюса на минус, то есть яблок на правой чаше имеет результат минусовой, то есть яблоки переходят налево. А умномение минусовых левых яблок на плюс оставляет их в минусе, на левой чаше.
Думаю, что это можно продемонстрировать следующим образом. Если в пять корзин положить по пять яблок, то всего будет 25 яблок. В корзинах. А минус пять яблок, означает, что я их не доложил, а вынул из каждой из пяти корзин. и получилось те же 25 яблок, но не в корзинах. Поэтому корзины идут как минус.
А еще отлично можно продемонстрировать это следующим примером. Если у тебя дома начался пожар - это минус. Но если ты ещ и забыл закрыть кран в ванне, и у тебя начался потоп, то это тоже минус. Но это по раздельности. А вот если это все случилось одновременно, то минус на минус дает плюс, и у твоей квартиры есть шанс уцелеть.
