Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a - ε < x n < a + ε которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε), что для всех x
, лежащих в ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ "
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, 
Теорема 3.
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
(6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
и непрерывной слева в точке x o, если предел
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 ×
(1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε
Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом
.
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
Пример 3.3
. 
. Найти .
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3.4
. Найти (
).
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:
Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел 
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n = p
n, то sin x n = sin (p
n) = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х о, кроме, быть может, самой точки х о.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x 0 (или при х® х о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , n є N (x n ¹ x 0), сходящейся к х о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х n), n є N, сходится к числу А
В этом случае пишут
или ƒ(х)->А при х→х о. Геометрический смысл предела функции:
означает,
что для всех точек х, достаточно близких к точке х о, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).
Число А называется пределом функции в точке х о (или при х→х о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹ х о, удовлетворяющих неравенству |х-х о |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометрический смысл предела функции:
если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х о, что для всех х¹ хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Доказать, что
Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается, что х стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х 0), большим, чем х о (справа от х о), или колеблясь около точки x 0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А 1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х 0 -δ;x o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 или коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначают ƒ(х о +0)=А.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А 1 =А 2 .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х 0 -0) и ƒ(х 0 +0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х 0 -0).
Если же А 1 ¹ А 2 , то етот придел не существует.
16.3. Предел функции при х ® ∞
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х 0 , если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.
Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х->2.
Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х о и принимает лишь положительные значения, то пишут
если лишь отрицательные значения, то
Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:
Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v n =n 2 +1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)
Однако, если limƒ(х)=А при х→x 0 , где А - конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х о.
Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х 0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
СодержаниеЗдесь a
и x 0
также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел ,
существуют числа ,
так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки :
,
значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где ,
.
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши» .
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции ».
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции ».
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(x)
при x → x 0
,
и он равен t 0
:
.
Здесь точка x 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t)
непрерывна в точке t 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x))
,
и он равен f(t 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие о неопределенностях. Раскрытие простейших неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные эквивалентности. Функции, эквивалентные функциям в окрестности .
Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
Аналитический способ: функция задается с помощью
математической формулы.
Табличный способ: функция задается с помощью таблицы.
Описательный способ: функция задается словесным описанием
Графический способ: функция задается с помощью графика
Пределы на бесконечности
Пределы функции на бесконечности
Элементарные функции:
1) степенная функция y=x n
2) показательная функция y=a x
3) логарифмическая функция y=log a x
4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x
5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.
Пустьи
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Пределназывается пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.
Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a | < δ, выполняется |f(x) – A | < ε.
Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любой последовательности {x n }ε X, x n ≠a nN, сходящийся к a , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к числу A .
Теорема . Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство . Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши и {x n } X, x n a nN – последовательность, сходящаяся к a , x n à a .
По данному ε > 0 найдем δ > 0 такое, что при 0 < |x-a | < δ, xX имеем |f(x) – A | < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>n δ имеем 0 < |x n -a | < δ
Но тогда |f(x n) – A | < ε, т.е. доказано, что f(x n)à A .
Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется ε o > 0 такое, что для всех nN существуют x n X, 0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ε o . Это означает, что найдена последовательность {x n } X, x n ≠a nN, x n à a такая, что последовательность {f(x n)} не сходится к A .
Геометрический смысл предела lim f (x ) функции в точке х 0 таков: если аргументы х будут взяты в ε-окрестности точки х 0 , то соответствующие значения останутся в ε-окрестности точки.
Функции могут быть заданы на интервалах, примыкающих к точке x0 разными формулами, либо не определены на одном из интервалов. Для исследования поведения таких функций удобным является понятие левосторонних и правосторонних пределов.
Пусть функция f определена на интервале (a, x0). Число A называется пределом функции f слева
в точке x0 если0 0 x (a, x0) , x0 - x x0: | f (x) - A |
Предел функции f справа в точке x0 определяется аналогично.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции a (x) и b (x) называются бесконечно малыми одного порядка ,
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
сокращение на множитель, создающий неопределенность
деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при)
применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
использование двух замечательных пределов:
Первый замечательный преде л
Второй замечательный
предел
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→ a, если f(x): f(x) = f (x)g(x), где limx→ af (x) = 1.
Иначе говоря функции эквивалентны при x→ a, если предел их отношения при x→ a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами :
sin x ~ x, x → 0
tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0
e x -1~ x, x→ 0
ln (1+x)~ x, x→ 0
m -1~ mx, x→ 0
Непрерывность функции. Непрерывность элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Формулировка теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса.
Разрывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).
Непрерывность сложной функции
Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 59.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.
Теорема Вейерштрасса
Пусть f - непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из выполнено условие
Теорема Больцано - Коши
Пусть дана непрерывная
функция на отрезке
Пусть также
и без ограничения общности предположим,
чтоТогда для любогосуществуеттакое, что f(c) = C.
Точка разрыва - значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы
при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Точкой разрыва 1-го рода . Если при этом f (a + 0) = f (a -0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a)= f(a+0)=f(a-0).
Разрывные функции, функции, имеющие разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). Обычно у функций, встречающихся в математике, точки разрыва изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f (x) = 0, если х рационально, и f (x) = 1, если х иррационально. Предел всюду сходящейся последовательности непрерывных функций может быть Р. ф. Такие Р. ф. называются функциями первого класса по Бэру.
Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций; производная сложной функции).
Производная тригонометрических функций.
Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.
Производная логарифмической функции.
Понятие о логарифмическом дифференцировании. Производная степенно-показательной функции. Производная степенной функции. Производная показательной функции. Производная гиперболических функций.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная неявной функции.
Производной функции f(x) (f"(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Геометрический смысл производной . Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти из уравнения, то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,
.
в) заменить его выражением через х
Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение определяеткак неявную функцию от х.
а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно;
б) из полученного уравнения выразим .
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,
Тогда , или
Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Критерий дифференцируемости функции.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференциал (от лат. differentia - разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функции f (x) можно представить в виде Dy = f" (x0) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f" (x0) Dх в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f"(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f"(x) , а dx=Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2 y: d(dy)=d 2 y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому
d 2 y = d(dy) = d = "dx = f ""(x)dx·dx = f ""(x)(dx) 2 .
Принято записывать (dx) 2 = dx 2 . Итак, d 2 у= f""(x)dx 2 .
Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d 3 y=d(d 2 y)="dx=f """(x)dx 3 .
Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: d n (y)=d(d n -1y)d n y = f (n)(x)dx n
Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0" = f "(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy≈f"(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δx.
Откуда f(x) ≈ f(x0) + f"(x0)·Δx
Инвариантная форма первого дифференциала.
Доказательство:
1)
Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их следствия. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.
