Код для блога:
УГОЛ (плоский), геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Всякий угол с вершиной в центре некоторой окружности (центральный угол) определяет на окружности дугу АВ, ограниченную точками пересечения окружности со сторонами угла. Это позволяет свести измерение угла к измерению соответствующих дуг. Углы измеряются в градусах или радианах.
Угол, образованный продолжением сторон данного угла, называется вертикальным к данному; угол, образованный одной из сторон данного угла и продолжением другой стороны, - смежным с ним. Под углом двух кривых, пересекающихся в некоторой точке, понимают угол, образованный касательными к кривым в этой точке.
Как это будет выглядеть:
УГОЛ (плоский), геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Всякий угол с вершиной в центре некоторой окружности (центральный угол) определяет на окружности дугу АВ, ограниченную точками пересечения окружности со сторонами угла. Это позволяет свести измерение угла к измерению соответствующих дуг. Углы измеряются в градусах или радианах.
Угол, образованный продолжением сторон данного угла, называется вертикальным к данному; угол, образованный одной из сторон данного угла и продолжением другой стороны, - смежным с ним. Под углом двух кривых, пересекающихся в некоторой точке, понимают угол, образованный касательными к кривым в этой точке.
Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О , и сторонами k и m .
На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.
Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.
Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.
В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).
На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.
Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус . Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.
В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.
Символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .
Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ A B C . {\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B {\displaystyle B} - вершина, а A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} - точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. .
Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠ (b c) {\displaystyle \angle (bc)} - здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} , α , который надо было бы обозначить ∠ (c b) {\displaystyle \angle (cb)} .
Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.
Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.
На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.
Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными ), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:
В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ∠ A B C , {\displaystyle \angle ABC,} а для величины меры измерения этого угла - обозначение A B C ^ . {\displaystyle {\widehat {ABC}}.}
Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону , где использовалась шестидесятеричная система счисления , следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы измеряются в румбах . 1 румб равен 1 ⁄ 32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.
В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.
Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:
Стрелкой показано направление отсчёта углов
Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол - часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).
Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах - в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.
Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:
Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре - прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ , то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ .
Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.
Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.
В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [ a , b ] {\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . {\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными , если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.
В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g i j . {\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u , v) = g i j u i v j , {\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов - | | u | | = | g i j u i u j | {\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и | | v | | = | g i j v i v j | . {\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos θ = (u , v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}
Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.
Пусть (X , ρ) {\displaystyle (X,\rho)} - метрическое пространство . Пусть далее, x , y , z {\displaystyle x,y,z} - элементы этого пространства.
К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} с вершиной в точке x {\displaystyle x} как неотрицательное число y x z ^ {\displaystyle {\widehat {yxz}}} , которое удовлетворяет трём аксиомам:
В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:
Y x z ^ w = arccos ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) {\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}
Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.
Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y − x {\displaystyle y-x} и z − x {\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.
Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка - см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:
Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов - ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) - расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (
Занятие 1. УГОЛ.
ПЛОСКИЙ УГОЛ
Контрольные вопросы и задания
1. Какая геометрическая фигура называется углом?
2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG?
3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG?
4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом?
5. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?
6. Какая фигура называется развёрнутым углом?
7. Какой вид имеет плоский развёрнутый угол?
8. Как определяется угол между двумя отрезками AB и AC с общим концом?
9. Как обозначается угол треугольника MNK при вершине M?
Задачи и упражнения
1. На рис. 1 нарисуйте угол. Отметьте по одной точке на его сторонах. Обозначьте эти точки и вершину угла буквами.
Запишите обозначение этого угла.
2. На рис. 2 нарисуйте и обозначьте угол.
Укажите, какие плоские углы соответРис. 1 ствуют этому углу.
Рис. 2 Рис. 3
3. На рис. 3 нарисуйте два отрезка с общим концом. Обозначьте концы отрезков буквами. Запишите обозначение этого угла.
4. На рис. 4 нарисуйте четыре различных луча с началом в точке O.
Сколько углов вы можете указать на рисунке?
Рис. 4 Рис. 5 5.* На рис. 5 нарисуйте три различных луча с началом в точке O. Сколько плоских углов вы можете указать на рисунке?
1.1. Сколько неразвёрнутых углов можно указать, выбирая стороны из четырёх лучей, проведённых из одной точки О, если никакие два из этих лучей не лежат на одной прямой?
1) 4 2) 6 3) 8 4) 10
1.2. На рис. 6 изображены две пересекающиеся прямые. Сколько всего плоских углов можно указать, выбирая стороны углов из лучей этих прямых?
Рис. 6 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. На рис. 7 изображены два луча AB и AC и пять точек. Какие из указанных точек не содержит плоский угол BAC, внутри которого находится точка M?
1) N 2) K 3) L 4) P
2.2. На луче KN отметили точки A и B, на луче KM отметили точки C и D. Какие из приведённых записей являются обозначениями угла MKN?
1) AKB; 2) BKC; 3) AKD; 4) CKD.
Занятие 2. РАВЕНСТВО УГЛОВ Контрольные вопросы и задания
1. Какой значок используют для обозначения угла?
2. Точки M, N лежат на одной стороне угла с вершиной O, точки E, F на другой его стороне. Запишите четыре обозначения этого угла, используя указанные точки.
3. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?
4.** Какая фигура называется плоским развёрнутым углом?
5. В каком случае два угла, образованные лучами с общей вершиной, называются равными?
6. В каком случае два плоских угла называются равными?
Задачи и упражнения
1. На рис. 1 изображены равные углы AOB, BOC, COD. Как переместить копию угла BOD, чтобы она совместилась с углом AOС?
– – –
3. При выбранной единице измерения углов плоский угол AOB составлен из 5 эталонных углов, плоский угол BOC составлен из 6 эталонных углов. Чему равна мера угла AOC, составленного из углов AOB и BOC, в выбранных единицах измерения углов?
4. Плоский угол составлен из 73 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?
5. Что называют величиной угла (в градусах)?
6. Чему равна величина развёрнутого угла?
7. Что можно сказать о градусных мерах равных углов?
8. Что можно сказать об углах, имеющих равные градусные меры?
9. Сколько углов величины 154° можно отложить от заданного луча?
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте на клетчатой бумаге (рис. 2) прямоугольник PQRS и измерьте с помощью транспортира его углы. Запишите результаты измерения.
2. Измерьте углы треугольника ABC, изображённого на рис. 3. Запишите результаты измерений.
– – –
Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран Рис. 3 плоский угол, градусная мера которого равна 12°.
Чему равна градусная мера угла, который в новых единицах имеет меру 8?
1) 84° 2) 96° 3) 108° 4) 112°
1.2. На плоскости задан луч AB. Сколько из вершины A можно провести лучей, образующих с лучом AB угол в 90°?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Рис. 4
2.1. Предположим, что при измерении плоских углов, которые можно разместить в полуплоскости, используется эталонный угол величиной 15°. Какие из указанных значений могут быть мерой таких углов в новых единицах измерения?
1) 8 2) 10 3) 12 4) 14
2.2. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 15° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 8 и меньше 9. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?
1) 120° 2) 125° 3) 130° 4) 135° Занятие 4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ Контрольные вопросы и задания
1. Какие значения может принимать градусная мера плоского угла, который размещается в некоторой полуплоскости?
2. Как на компасе выглядят направления:
а) на «норд-вест»? б) на «норд-ост»?
в) на «зюйд-ост»? г) на «зюйд-вест»?
3. Плоский угол составлен из 18 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?
4. Какую величину имеет угол, равный углу в 15°?
5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 99°?
– – –
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 11° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 12 и меньше 13. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?
1) 130° 2) 135° 3) 140° 4) 145°
2.2. Измеряя угол, ученик установил, что его величина больше 38° и меньше 43°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение величины этого угла?
1) 37° 2) 40° 3) 43° 4) 46°
Занятие 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется градусная мера плоского угла, который можно разместить в некоторой полуплоскости?
2. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов величиной 69° и 73°?
3. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов в 15° каждый?
4. Какую величину имеет угол, составленный из шести углов в 24° каждый?
5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 90°?
6.* Как можно назвать угол, который составлен из 18 плоских углов, равных 10°?
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте на рис. 2 четырёхугольник, похожий на четырёхугольник MNKL, который изображён на рис. 1. При помощи транспортира измерьте углы нового четырёхугольника, запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех углов.
– – –
Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 6°. Какую меру в новых единицах имеет развёрнутый угол?
1) 20 2) 25 3) 30 4) 35
1.2. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 5°. Какую меру в новых единицах имеет угол в 105°?
1) 18 2) 21 3) 24 4) 27 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. В каких из указанных случаев градусная мера угла больше 90°?
1) угол составлен из 4 эталонных углов по 25°
2) угол составлен из 6 эталонных углов по 12°
3) угол составлен из 8 эталонных углов по 15°
4) угол составлен из 12 эталонных углов по 6°
2.2. В каких из указанных случаев градусная мера угла меньше 180°?
1) угол составлен из 5 эталонных углов по 30°
2) угол составлен из 7 эталонных углов по 20°
3) угол составлен из 13 эталонных углов по 15°
4) угол составлен из 19 эталонных углов по 9° Занятие 6. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ГРАДУСНОЙ МЕРЫ Контрольные вопросы и задания
1. В каких случаях говорят, что плоский угол ABC равен сумме плоских углов ABD и DBC?
2. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 15° и 60°?
3. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 63° и 79°?
4. Чему равна градусная мера суммы трёх углов величиной 25°, 35° и 45°?
5. Чему равна градусная мера суммы пяти равных углов величиной в 32° каждый?
6. При каком условии сумму двух плоских углов величиной ° и ° можно разместить в одной полуплоскости?
7. Чему равна градусная мера половины развёрнутого угла?
8. В каком случае луч OF называется биссектрисой плоского угла MON?
Задачи и упражнения
1. Найдите, чему равна градусная мера суммы углов величины 36° и 78°.
2. Плоский угол ВАС составлен из трёх углов величиной 27°, 49°, 35°.
Чему равна величина угла ВАС?
3. Плоский угол ВАС составлен из пяти углов величиной 11°, 13°, 17°, 22°, 26°. Чему равна величина угла ВАС?
4. Плоский угол ВАС составлен из пяти равных углов, величина каждого из которых равна 31°. Чему равна величина угла ВАС?
5. Два равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?
6. Три равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?
7.* Пять одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?
8.** Пятнадцать одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?
– – –
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. Известно, что AOB = 30°, BOC = 45°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?
1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 90°
2.2. Известно, что AOB = 90°, BOC = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?
1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 150° Занятие 7. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО СВОЙСТВА
1. Чему равна величина плоского угла ABC, который составлен из плоских углов ABD и DBC?
2. Плоский угол величиной 76° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 47°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?
3. Плоский угол величиной 123° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 58°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?
4. Плоский угол величиной 136° составлен из двух равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих двух углов?
5. Плоский угол величиной 141° составлен из трёх равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих трёх углов?
6. Сколько биссектрис можно провести у заданного плоского угла?
Задачи и упражнения
1. Внутри плоского угла MNK величины 126° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 64°. Чему равна величина угла PNK?
2. Вне плоского угла MNK величины 39° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 77°. Чему равна величина угла PNK?
3. Внутри плоского угла MNK величины 108° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в два раза больше угла PNK. Чему равна величина угла MNP?
4. Внутри плоского угла MNK величины 48° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в пять раз больше угла PNK. Чему равна величина угла PNK?
5. Дан угольник, углы которого равны 45°, 45° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью этого угольника?
6. Дан угольник, углы которого равны 15°, 75° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью такого угольника?
Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. На плоскости задан луч AB. В разных полуплоскостях относительно прямой AB провели лучи AC и AD так, что BAC = 130°, BAD = 145°. Чему равна величина угла CAD?
1) 85° 2) 95°; 3) 105° 4) 115°.
1.2. На плоскости проведены различные лучи AB, AC, AD, AE так, что величины углов BAC, CAD, DAE равны 105°. Чему равна величина угла BAE?
1) 25° 2) 35° 3) 45° 4) 55° Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. Известно, что AOB = 15°, BOC = 30°, COD = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOD?
1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 105°
2.2. В полуплоскости проведён некоторый луч AB с вершиной на границе полуплоскости, и в этой полуплоскости нужно изобразить угол CAB величиной от 0° до 180°. Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча AB и заданной величины угла?
1) ни одного 2) 1 3) 2; 4) 3 Занятие 8. ПРЯМОЙ УГОЛ. КВАДРАТ. ПРЯМОУГОЛЬНИК Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется прямой угол?
2. Чему равна градусная мера прямого угла?
3. Чему равны углы, образующиеся между пересекающимися линиями клетчатой бумаги?
4. Какое свойство углов квадрата вы знаете?
5. Какое свойство сторон квадрата вы знаете?
6. Какое свойство углов прямоугольника вы знаете?
7. Какое свойство сторон прямоугольника вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Внутри плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 37°. Чему равна величина угла PNK?
2. Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 62°. Чему равна величина угла PNK?
3.** Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 115°. Найдите все значения, какие может иметь величина угла PNK.
– – –
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. Известно, что AOB = 140°, BOC = 90°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?
1) 40° 2) 50° 3) 130° 4) 140°
2.2. Луч делит прямой угол на два угла. Измеряя больший из получившихся углов, ученик установил, что величина этого угла больше 77° и меньше 81°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение другого из полученных углов?
1) 9° 2) 10° 3) 11° 4) 12° Занятие 9. ВИДЫ УГЛОВ. ТУПОЙ И ОСТРЫЙ УГОЛ Контрольные вопросы и задания
1. Какой угол называется развёрнутым?
2. Какой угол называется прямым?
3. Какой угол называется острым?
4. Какой угол называется тупым?
5. Как можно назвать угол величиной 79°?
6. Как можно назвать угол величиной 91°?
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте на рис. 1 треугольник, у которого все углы острые.
– – –
4.** Нарисуйте на рис. 4 четырёхугольник с тремя острыми углами.
5. Часы показывают указанное время. Отметьте случаи, когда часовая и минутная стрелки образуют острые углы.
а) 2 ч 5 мин б) 4 ч 10 мин в) 12 ч 30 мин г) 12 ч 14 мин д) 3 ч 48 мин 6.** Найдите, какой угол образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают:
а) 12 ч 12 мин б) 2 ч 24 мин в) 1 ч 36 мин г) 3 ч 48 мин
– – –
Занятие 10. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Контрольные вопросы и задания
1. Из точки M, лежащей на отрезке AB, проведён луч MC. Какой угол будет смежным к углу BMC?
2. В каком случае углы AMB и BMC будут смежными?
3. Что вы можете сказать о вершинах двух смежных углов?
4. Что вы можете сказать о сторонах двух смежных углов?
5. Каким свойством обладают величины смежных углов AOB и BOC?
6. Известно, что MNK = 73°. Какую величину имеет смежный с ним угол?
7. Что вы можете сказать об угле, смежном острому углу?
8. Что вы можете сказать об угле, смежном тупому углу?
9. В каком случае угол равен смежному с ним углу?
Задачи и упражнения
1. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 28° больше другого. Чему равны эти углы?
2. Некоторый угол на 72° больше смежного с ним угла. Чему равен каждый из этих углов?
3. Даны два смежных угла. Величина одного из них в четыре раза больше другого. Чему равны эти углы?
4. Даны два смежных угла. Величина одного из углов в пять раз больше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?
5. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 36° меньше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?
6. Сумма градусных мер двух углов, смежных с данным углом, равна 70°. Чему равна величина данного угла?
7. Величины двух смежных углов относятся как 7: 9. Чему равны эти углы?
– – –
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. Известно, что величина угла AOB больше 112°. Какие из приведённых значений не могут быть величиной угла, смежного к углу AOB?
1) 55° 2) 60° 3) 65° 4) 70°
2.2. Известно, что углы AOB и BOC являются смежными, и AOB 4 · BOC. Какие значения может иметь величина угла BOC?
1) 30° 2) 35° 3) 40° 4) 45°
– – –
2. Что вы можете сказать о вершинах двух вертикальных углов?
3. Что вы можете сказать о сторонах двух вертикальных углов?
4. Каким свойством обладают величины вертикальных углов AOB и COD?
5. Известно, что MNK =123°. Какую величину имеет вертикальный с ним угол?
6. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к острому углу?
7. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к тупому углу?
Задачи и упражнения
1. Один из двух углов, полученных при пересечении двух прямых, в три раза больше другого. Найдите и запишите величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых.
2. Три угла из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, в сумме составляют 240°. Чему равен четвёртый угол?
3.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 100°. Чему равны два других угла?
4.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 320°. Чему равны два других угла?
5.** Сумма трёх углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 280°. Чему равны два других угла?
6.** Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 180°. Чему равны два других угла?
Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах - отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах - отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы обозначаются румбами .
Смежные углы - острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)
Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.
Wikimedia Foundation . 2010 .
плоский угол - 2.2 плоский угол: Угол, образованный двумя лучами (сторонами угла), выходящими из геометрического центра помещения (сооружения). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
плоский угол - plokščiasis kampas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apimamojo lanko ilgio ir spindulio dalmeniu. Matavimo vienetas … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
плоский угол - plokščiasis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. plane angle vok. ebener Winkel, m rus. плоский угол, m pranc. angle plan, m … Fizikos terminų žodynas Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ПЛОСКИЙ, ровный, как бы сплющенный, придавленный; лежащий пластом, по уровню; в чем нет ни горбов, ни ям; невысокий, неглубокий, невозвышенный и неуглубленный. Плоская земля, место, равнина, ровная поверхность. Плоская кровля, вовсе по уровню,… … Толковый словарь Даля
угол излучения полупроводникового излучателя - угол излучения е Плоский угол, содержащий оптическую ось полупроводникового излучателя и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или равна половине ее максимального значения. [ГОСТ 27299 87] Тематики полупроводниковые приборы… …
угол излучения знакосинтезирующего индикатора - угол излучения (знакосинтезирующего индикатора) θ Плоский угол в вертикальной или горизонтальной плоскости, содержащей оптическую ось активного знакосинтезирующего индикатора и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или … Справочник технического переводчика
