Ang sentro ng masa ay isang geometric na punto na matatagpuan sa loob ng isang katawan na tumutukoy sa pamamahagi ng masa ng katawan na ito. Ang anumang katawan ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga materyal na puntos. Sa kasong ito, tinutukoy ng posisyon ng sentro ng masa ang radius vector.
Formula 1 - Radius ng sentro ng mass vector.
mi ang masa ng puntong ito.
ri ay ang radius vector ng punto.
Kung susumahin mo ang masa ng lahat ng materyal na punto, makukuha mo ang masa ng buong katawan. Ang posisyon ng sentro ng masa ay apektado ng pagkakapareho ng pamamahagi ng masa sa dami ng katawan. Ang sentro ng masa ay maaaring matatagpuan sa loob ng katawan at sa labas nito. Sabihin natin para sa isang singsing, ang sentro ng masa ay nasa gitna ng bilog. Kung saan walang substance. Sa pangkalahatan, para sa mga simetriko na katawan na may pare-parehong pamamahagi ng masa, ang sentro ng masa ay palaging matatagpuan sa gitna ng simetrya o sa axis nito.
Figure 1 - Mga sentro ng masa ng mga simetriko na katawan.
Kung ang ilang puwersa ay inilapat sa katawan, ito ay magsisimulang gumalaw. Isipin ang isang singsing na nakahiga sa ibabaw ng isang mesa. Kung lalapatan mo ito ng puwersa, at simulan lamang ang pagtulak, pagkatapos ay i-slide ito sa ibabaw ng mesa. Ngunit ang direksyon ng paggalaw ay depende sa lugar kung saan inilalapat ang puwersa.
Kung ang puwersa ay nakadirekta mula sa panlabas na gilid hanggang sa gitna, patayo sa panlabas na ibabaw, pagkatapos ang singsing ay magsisimulang gumalaw nang rectilinearly kasama ang ibabaw ng talahanayan sa direksyon ng paggamit ng puwersa. Kung ang isang puwersa ay inilapat nang tangential sa panlabas na radius ng singsing, pagkatapos ay magsisimula itong iikot na may kaugnayan sa sentro ng masa nito. Kaya, maaari nating tapusin na ang paggalaw ng isang katawan ay binubuo ng kabuuan ng translational at rotational motion na may kaugnayan sa sentro ng masa. Iyon ay, ang paggalaw ng anumang katawan ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng paggalaw ng isang materyal na punto na matatagpuan sa gitna ng masa at pagkakaroon ng masa ng buong katawan.
Figure 2 - Translational at rotational motion ng ring.
Mayroon ding konsepto ng center of gravity. Sa pangkalahatan, hindi ito katulad ng sentro ng masa. Ang sentro ng grabidad ay ang punto na nauugnay kung saan ang kabuuang sandali ng grabidad ay zero. Kung akala natin ang isang baras, sabihin nating 1 metro ang haba, 1 cm ang lapad, at pare-pareho ang cross-section. Ang mga metal na bola ng pantay na masa ay naayos sa mga dulo ng baras. Pagkatapos ang sentro ng masa ng baras na ito ay nasa gitna. Kung ang baras na ito ay inilagay sa isang hindi pare-parehong gravitational field, ang sentro ng grabidad ay ililipat patungo sa mas malaking lakas ng field.
Figure 3 - Katawan sa isang non-uniform at pare-parehong gravitational field.
Sa ibabaw ng lupa, kung saan ang puwersa ng grabidad ay pare-pareho, ang sentro ng masa ay halos tumutugma sa sentro ng grabidad. Para sa anumang pare-parehong pare-parehong gravitational field, ang sentro ng grabidad ay palaging magkakasabay sa sentro ng masa.
Muli nating isaalang-alang ang parehong sistema ng mga materyal na punto. Buuin natin ang radius vector ayon sa sumusunod na panuntunan:
saan ang radius vector ng materyal na punto ng system, at ang masa nito.
Tinutukoy ng radius vector ang posisyon sa espasyo center of inertia (center of mass) mga sistema.
Hindi naman kinakailangan na magkakaroon ng ilang materyal na punto sa gitna ng masa ng sistema.
Halimbawa. Hanapin natin ang sentro ng masa ng isang sistema na binubuo ng dalawang maliliit na bola - materyal na mga punto na konektado ng isang walang timbang na baras (Larawan 3.29). Ang sistema ng katawan na ito ay tinatawag na dumbbell.
kanin. 3.29. Dumbbell center of mass
Mula sa Fig. malinaw na yan
Ang pagpapalit sa mga pagkakapantay-pantay na ito ng expression para sa radius vector ng sentro ng masa
Kasunod nito na ang sentro ng masa ay namamalagi sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga sentro ng mga bola. Mga distansya l 1 at l 2 sa pagitan ng mga bola at ang sentro ng masa ay pantay ayon sa pagkakabanggit
Ang sentro ng masa ay mas malapit sa bola na ang masa ay mas malaki, tulad ng makikita mula sa ratio:
Alamin natin kung gaano kabilis ang paggalaw ng sentro ng pagkawalang-galaw ng system. Pinag-iiba namin ang parehong bahagi sa oras:
Ang numerator ng nagresultang expression sa kanang bahagi ay naglalaman ng kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga punto, iyon ay, ang impulse ng system. Ang denominator ay ang kabuuang masa ng system
Natagpuan namin na ang bilis ng sentro ng pagkawalang-kilos ay nauugnay sa momentum ng system at ang kabuuang masa nito sa parehong ratio na wasto para sa isang materyal na punto:
Video 3.11. Ang paggalaw ng sentro ng masa ng dalawang magkatulad na cart na konektado ng isang spring.
Ang sentro ng masa ng isang saradong sistema ay palaging gumagalaw sa isang pare-pareho ang bilis, dahil ang momentum ng naturang sistema ay natipid.
Kung iibahin natin ngayon ang expression para sa momentum ng system na may kinalaman sa oras at isinasaalang-alang na ang derivative ng momentum ng system ay ang resulta ng mga panlabas na puwersa, nakukuha natin equation ng paggalaw ng sentro ng masa ng system sa pangkalahatan:
Malinaw na
Ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw nang eksakto sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng lahat ng mga particle sa system ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng vector sum ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa system.
Kung mayroong isang sistema ng mga materyal na punto, ang panloob na lokasyon at paggalaw na kung saan ay hindi interesado sa amin, mayroon kaming karapatan na isaalang-alang ito ng isang materyal na punto na may mga coordinate ng radius vector ng sentro ng pagkawalang-kilos at isang masa na katumbas ng kabuuan ng ang masa ng mga materyal na punto ng sistema.
Kung iuugnay natin ang isang sistema ng sanggunian sa sentro ng masa ng isang saradong sistema ng mga punto ng materyal (mga partikulo) (tinatawag itong sentro ng sistemang masa), kung gayon ang kabuuang momentum ng lahat ng mga particle sa naturang sistema ay magiging katumbas ng zero. Kaya, sa gitna ng sistema ng masa, isang saradong sistema ng mga particle sa kabuuan ay nakapahinga, at mayroon lamang paggalaw ng mga particle na may kaugnayan sa sentro ng masa. Samakatuwid, ang mga katangian ng mga panloob na proseso na nagaganap sa isang saradong sistema ay malinaw na inihayag.
Sa kaso kung saan ang sistema ay isang katawan na may tuluy-tuloy na pamamahagi ng mga masa, ang kahulugan ng sentro ng masa ay nananatiling mahalagang pareho. Pinapalibutan natin ang isang di-makatwirang punto sa ating katawan na may maliit na volume. Ang masa na nilalaman sa volume na ito ay katumbas ng , kung saan ang density ng sangkap ng katawan, na maaaring hindi pare-pareho sa dami nito. Ang kabuuan ng lahat ng naturang elementarya ay pinalitan na ngayon ng integral sa buong volume ng katawan, upang para sa posisyon ng sentro ng masa ng katawan ay makuha natin ang expression
Kung ang sangkap ng katawan ay homogenous, ang density nito ay pare-pareho, at maaari itong alisin mula sa ilalim ng integral sign, upang ito ay kanselahin sa numerator at denominator. Pagkatapos ay ang expression para sa radius vector ng sentro ng masa ng katawan ay tumatagal ng anyo
saan ang volume ng katawan.
At sa kaso ng patuloy na pamamahagi ng masa, totoo ang pahayag na
Ang sentro ng masa ng isang matibay na katawan ay gumagalaw sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng katawan ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng vector sum ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa katawan.
Halimbawa. Kung ang isang projectile ay sumabog sa isang tiyak na punto sa parabolic trajectory nito, ang mga fragment ay lumilipad sa iba't ibang mga trajectory, ngunit ang sentro ng masa nito ay patuloy na gumagalaw kasama ang parabola.
Ang paggalaw ng sistema, bilang karagdagan sa mga kumikilos na pwersa, ay nakasalalay din sa kabuuang masa at pamamahagi ng masa nito. Timbang ng system katumbas ng arithmetic sum ng masa ng lahat ng mga punto o katawan na bumubuo sa sistema
Sa isang pare-parehong gravitational field, kung saan , ang bigat ng anumang particle ng katawan ay magiging proporsyonal sa masa nito. Samakatuwid, ang pamamahagi ng mga masa sa isang katawan ay maaaring hatulan ng posisyon ng sentro ng grabidad nito. Ibahin natin ang mga formula na tumutukoy sa mga coordinate ng sentro ng grabidad:
, 
, 
. (1)
Ang mga resultang pagkakapantay-pantay ay kinabibilangan lamang ng mga masa ng mga materyal na punto (mga partikulo) na bumubuo sa katawan at ang mga coordinate ng mga puntong ito. Samakatuwid, ang posisyon ng punto C(x C, y C, z C) talagang nailalarawan ang pamamahagi ng mga masa sa isang katawan o sa anumang mekanikal na sistema, kung sa pamamagitan ng , ibig sabihin namin, ayon sa pagkakabanggit, ang mga masa at mga coordinate ng mga punto ng sistemang ito.
Geometric na punto SA, ang mga coordinate kung saan ay tinutukoy ng mga ipinahiwatig na mga formula, tinatawag na sentro ng masa o ang sentro ng inertia ng system.
Ang posisyon ng sentro ng masa ay tinutukoy ng radius vector nito
saan - radius vectors ng mga puntos na bumubuo sa system.
Bagaman ang posisyon ng sentro ng masa ay tumutugma sa posisyon ng sentro ng grabidad ng isang katawan na matatagpuan sa isang pare-parehong larangan ng grabidad, ang mga konseptong ito ay hindi magkapareho. Ang konsepto ng sentro ng grabidad, bilang ang punto kung saan ang linya ng pagkilos ng mga resultang pwersa ng grabidad ay pumasa, mahalagang may katuturan lamang para sa isang solidong katawan na matatagpuan sa isang pare-parehong larangan ng grabidad. Ang konsepto ng sentro ng masa, bilang isang katangian ng pamamahagi ng masa sa isang sistema, ay may kahulugan para sa anumang sistema ng mga materyal na punto o katawan, at ang konseptong ito ay nagpapanatili ng kahulugan nito kahit na ang sistemang ito ay nasa ilalim ng impluwensya ng anumang pwersa o hindi.
Moment of inertia ng isang katawan tungkol sa isang axis. Radius ng pagkawalang-galaw.
Ang posisyon ng sentro ng masa ay hindi ganap na nagpapakilala sa pamamahagi ng masa ng sistema. Halimbawa (Larawan 32 ), kung mga distansya h mula sa axis Oz bawat isa sa magkaparehong bola A At SA pagtaas ng parehong halaga, kung gayon ang posisyon ng sentro ng masa ng system ay hindi magbabago, ngunit ang pamamahagi ng mga masa ay magiging iba, at ito ay makakaapekto sa paggalaw ng system (pag-ikot sa paligid ng axis Oz ceteris paribus ay magaganap nang mas mabagal).
Fig.32
Samakatuwid, ang isa pang katangian ng pamamahagi ng masa ay ipinakilala sa mekanika - ang sandali ng pagkawalang-galaw. Ang moment of inertia ng isang katawan (system) na may kaugnayan sa isang naibigay na axis Oz (o axial moment of inertia) ay isang scalar na dami na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa ng lahat ng mga punto ng katawan (system) ng mga parisukat ng ang kanilang mga distansya mula sa axis na ito
Mula sa kahulugan ay sumusunod na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan (o sistema) na may kaugnayan sa anumang axis ay isang positibong dami at hindi katumbas ng zero.
Tandaan din na ang moment of inertia ng isang katawan ay isang geometric na katangian ng isang katawan na hindi nakadepende sa paggalaw nito.
Ang axial moment ng inertia ay gumaganap ng parehong papel sa panahon ng rotational motion ng isang katawan tulad ng mass sa panahon ng translational motion, i.e. Ano ang axial moment ng inertia ay isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa panahon ng rotational motion.
Ayon sa formula, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng lahat ng mga bahagi nito na may kaugnayan sa parehong axis. Para sa isang materyal na punto na matatagpuan sa malayo h mula sa axis, .
Kadalasan sa panahon ng mga kalkulasyon ang konsepto ng radius ng gyration ay ginagamit. Radius ng pagkawalang-galaw katawan na may kaugnayan sa axis Oz ay tinatawag na isang linear na dami na tinukoy ng pagkakapantay-pantay
saan M- masa ng katawan. Mula sa kahulugan, sumusunod na ang radius ng gyration ay geometrically na katumbas ng distansya mula sa axis Oz ang punto kung saan ang masa ng buong katawan ay dapat na puro upang ang moment of inertia ng isang puntong ito ay katumbas ng moment of inertia ng buong katawan.
Sa kaso ng isang solidong katawan, na pinaghiwa-hiwalay ito sa mga elementaryang bahagi, nakita natin na sa limitasyon ang kabuuan sa pagkakapantay-pantay , nagiging integral. Bilang resulta, isinasaalang-alang na , nasaan ang density, at V- dami, nakukuha namin
Ang integral dito ay umaabot sa buong volume V katawan, at density at distansya h depende sa mga coordinate ng mga body point.
Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng ilang mga homogenous na katawan:
1. Manipis na pare-parehong haba ng baras l at masa M. Kalkulahin natin ang moment of inertia nito na may kaugnayan sa axis Az, patayo sa pamalo at dumadaan sa dulo nito A(Larawan 33).
Fig.33
Diretso na tayo AB coordinate axis Oh. Pagkatapos ay para sa anumang elementarya na segment ng haba dx magnitude h=x, at ang misa , saan - masa bawat yunit ng haba ng baras. Ang resulta
Ang pagpapalit nito sa halaga nito dito, sa wakas ay nakita namin:
2. Manipis na bilog na unipormeng radius na singsing R at masa M. Hanapin natin ang moment of inertia nito na may kaugnayan sa axis Cz, patayo sa eroplano ng singsing at dumadaan sa gitna nito (Larawan 34, A). Dahil ang lahat ng mga punto ng singsing ay mula sa axis Cz sa distansya h k =R, yun
Samakatuwid, para sa singsing
Malinaw, ang parehong resulta ay makukuha para sa sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na cylindrical shell ng mass M at radius R kaugnay sa axis nito.
3. Pabilog na unipormeng plato o silindro ng radius R at masa M. Kalkulahin natin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bilog na plato na may kaugnayan sa axis Сz, patayo sa plato at dumadaan sa gitna nito (tingnan ang Fig. 34, A). Upang gawin ito, pumili kami ng elementary ring ng radius r at lapad Dr(Larawan 34, b).
Gumuhit ng diagram ng system at markahan ang sentro ng grabidad dito. Kung ang natagpuang sentro ng grabidad ay nasa labas ng object system, nakatanggap ka ng maling sagot. Maaaring nasukat mo ang mga distansya mula sa iba't ibang reference point. Ulitin ang mga sukat.
Suriin ang iyong matematika kung nakakuha ka ng maliit na resulta. Kung ang reference point ay nasa isang dulo ng system, isang maliit na resulta ang naglalagay ng center of gravity malapit sa dulo ng system. Maaaring ito ang tamang sagot, ngunit sa karamihan ng mga kaso ang resultang ito ay nagpapahiwatig ng isang error. Noong kinakalkula mo ang mga sandali, pinarami mo ba ang kaukulang mga timbang at distansya? Kung sa halip na i-multiply ay idinagdag mo ang mga timbang at distansya, makakakuha ka ng mas maliit na resulta.
Iwasto ang error kung nakakita ka ng maraming sentro ng grabidad. Ang bawat sistema ay mayroon lamang isang sentro ng grabidad. Kung nakakita ka ng maraming mga sentro ng grabidad, malamang na hindi mo nadagdagan ang lahat ng mga sandali. Ang sentro ng grabidad ay katumbas ng ratio ng "kabuuang" sandali sa "kabuuang" timbang. Hindi na kailangang hatiin ang "bawat" sandali sa "bawat" timbang: sa ganitong paraan makikita mo ang posisyon ng bawat bagay.
Suriin ang reference point kung ang sagot ay naiiba sa ilang halaga ng integer. Sa aming halimbawa, ang sagot ay 3.4 m, sabihin nating nakuha mo ang sagot na 0.4 m o 1.4 m, o isa pang numero na nagtatapos sa ".4". Ito ay dahil hindi mo pinili ang kaliwang dulo ng board bilang iyong panimulang punto, ngunit isang punto na matatagpuan sa isang buong halaga sa kanan. Sa katunayan, tama ang iyong sagot kahit anong reference point ang pipiliin mo! Tandaan lamang: ang reference point ay palaging nasa posisyon x = 0. Narito ang isang halimbawa:
Sukatin ang mga distansya sa mga tuwid na linya. Ipagpalagay na mayroong dalawang bata sa isang swing, ngunit ang isang bata ay mas matangkad kaysa sa isa, o isang bata ay nakasabit sa ilalim ng pisara sa halip na umupo dito. Huwag pansinin ang pagkakaibang ito at sukatin ang mga distansya sa tuwid na linya ng pisara. Ang pagsukat ng mga distansya sa mga anggulo ay magbibigay ng malapit ngunit hindi ganap na tumpak na mga resulta.
Kung hindi natin babawasan, ngunit idinagdag ang mga equation (6.1), makukuha lang natin ang batas ng konserbasyon ng momentum
Maaari itong muling isulat nang pormal bilang batas ng pananatili sa oras ng isang tiyak na bilis Vc:
Lumipat tayo sa isang reference system na gumagalaw nang may bilis (6.4). Ang mga bilis ng mga particle 1 at 2 ay binago tulad ng sumusunod:
iyon ay, sa bagong frame ng sanggunian ang mga ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng bilis ng kamag-anak na paggalaw. Iugnay natin ang bilis ng Vc sa radius vector ng isang tiyak na punto r may:
Tandaan na ang kahulugan (6.6) ay tumutugma sa konsepto ng sentro ng grabidad, na kilala mula sa kursong pisika ng paaralan. Upang patunayan ito, ilipat natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa punto r Sa. Pagkatapos, ganap na kahalintulad sa (6.5), nakukuha natin
kaya,
(ang sentro ng grabidad ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay ng mga produkto ng masa at ang "balikat"). Ngunit ang mga kahulugan (6.4) at (6.6) ay mas tama at mas unibersal, dahil maaari silang gawing pangkalahatan nang walang anumang mga problema sa anumang bilang ng mga materyal na punto, at samakatuwid ay sa mga macroscopic na katawan. Point C sa mechanics - at sa physics sa pangkalahatan - ay karaniwang tinatawag na sentro ng masa o sentro ng pagkawalang-galaw ng isang sistema ng mga materyal na puntos.
Hayaan sa ilang inertial coordinate system ang mga posisyon ng mga nakikipag-ugnayan na mga punto ng materyal na may masa m 1, m 2, m N ay tinukoy sa bawat sandali ng oras t sa pamamagitan ng mga radius vectors r 1(t), r 2(t), r N(t)
(tingnan ang Fig. 6.3 a). Pagkatapos ang sentro ng masa ng sistema ng mga materyal na punto sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay tinatawag na tulad ng isang punto na ang radius vector R r 1(t), r 2(t), r N (t) materyal na mga puntos ayon sa
Binibigyang-diin namin na sa pangkalahatang kaso ang posisyon ng sentro ng masa ay hindi nag-tutugma sa posisyon ng alinman sa mga materyal na punto ng sistema (tingnan ang Fig. 6.3 b), bagaman kung minsan ito ay maaaring mangyari.
kanin. 6.3, ang sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay tulad ng isang punto na ang radius vector R Ang c(t) ay ipinahayag sa mga tuntunin ng radius vectors r 1(t), r 2(t), r N(t) materyal na mga puntos
Ibahin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (6.7) na may paggalang sa oras.
Ang derivative ng radius vector na may paggalang sa oras ay, sa pamamagitan ng kahulugan, bilis, kaya bilang isang resulta ay nakukuha natin
kung saan ang Vc ay ang bilis ng sentro ng masa, v 1, v 2, v N ay ang mga bilis ng mga punto ng materyal. Ang dami ng m 1 v 1 in (6.8) ay ang momentum ng unang materyal na punto, ang m 2 V 2 ay ang momentum ng pangalawang punto, atbp. Kaya, sa mga kulot na bracket ng pagpapahayag (6.8) ay ang kabuuan ng mga impulses ng sistema ng mga materyal na punto na isinasaalang-alang, ibig sabihin, ang impulse P ng buong sistema.
Dahil dito, ang pagkakapantay-pantay (6.8) ay maaaring muling isulat bilang P = (m 1 + m 2 + m N )V c . (6.9)
Sa isang frame of reference kung saan ang sentro ng masa ay nakapahinga,
Kung hindi tayo interesado sa kamag-anak na paggalaw ng mga materyal na punto, ngunit interesado sa paggalaw ng sistema sa kabuuan, kung gayon ang buong sistema ay maaaring ituring na isang materyal na punto na gumagalaw nang may bilis na Vc at may momentum P. Alalahanin na ang masa ng isang materyal na punto ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang koepisyent ng proporsyonalidad sa pagitan ng salpok at bilis. Samakatuwid, ang koepisyent ng proporsyonalidad sa pagkakapantay-pantay (6.9), na nakapaloob sa mga kulot na bracket, ay ang masa M ng sistemang isinasaalang-alang:
M = m 1 + m 2 + m N, (6.10)
ibig sabihin, ang masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay katumbas ng kabuuan ng mga masa ng mga puntong ito. Relasyon (6.10), ayon sa kung saan ang masa ng isang kumplikadong katawan ay katumbas ng kabuuan ng masa ng mga bahagi nito, tila pamilyar at halata sa atin. Gayunpaman, tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, sa relativistic mechanics (i.e., sa mas pangkalahatang kaso) ang sitwasyon ay magiging ganap na naiiba. Sa limitadong kaso ng Newtonian mechanics, ang pagkakapantay-pantay (6.10) ay isang espesyal na kaso ng isang tiyak na pisikal na batas - ang batas ng konserbasyon ng masa.
Sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, i.e. para sa isang saradong sistema, ang kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga katawan ng sistema ay hindi nakasalalay sa oras; pagkatapos mula sa (6.9) ay sumusunod sa isang mahalagang pag-aari ng paggalaw ng sentro ng masa ng isang saradong sistema ng mga punto ng materyal:
i.e. ang sentro ng masa ng isang saradong sistema ng mga punto ng materyal ay hindi gumagalaw o gumagalaw nang pantay at linear, bagaman ang bawat isa sa mga materyal na punto ay maaaring magsagawa ng kumplikadong paggalaw. Ang pahayag sa itaas ay kung minsan ay tinatawag na theorem sa paggalaw ng sentro ng masa.
Papatunayan natin ngayon ang sumusunod na mahalagang katangian ng kinetic energy:
Ang kinetic energy T ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay katumbas ng kabuuan ng kinetic energy ng buong masa ng system, mentally concentrated sa sentro ng masa nito at gumagalaw kasama nito, at ang kinetic energy T ng parehong sistema sa kamag-anak nito paggalaw na may paggalang sa sistema ng sanggunian, na gumagalaw sa gitna ng masa :
kung saan M = m 1 + m 2 + m N. Ang Vc ay ang bilis ng sentro ng masa sa orihinal na reference frame, ang v i ay ang bilis ng i-th material point na may kaugnayan sa reference frame na gumagalaw kasama ng point C. Ang ganitong sistema ay karaniwang tinatawag na "center of mass system" , "center of inertia system" o simpleng "c-system" . (Ang sistema ng sanggunian kung saan inilalagay ang problema, kung ang sistemang ito ay hindi tumutugma sa c-system, ay karaniwang tinatawag na sistema ng sangguniang laboratoryo o l-system).
Upang patunayan ito, kumuha muna tayo ng mas pangkalahatang kaugnayan na nagkokonekta sa kinetic energy sa dalawang reference system (tingnan ang Fig. 6.4). Para sa mga coordinate at velocities ng mga puntos sa lumang sistema R i, V i at sa bagong sistema r i, v i, isusulat namin ang mga pagbabagong-anyo ng Galilea:
kung saan ang R ay ang radius vector ng paglipat mula sa lumang sistema patungo sa bago, at ang V ay, nang naaayon, ang bilis ng paggalaw ng bagong sistema na may kaugnayan sa luma.
kanin. 6.4 koneksyon ng mga coordinate sa dalawang reference system
Pagkatapos ay ang kinetic energy sa lumang frame ng sanggunian ay maaaring kinakatawan bilang
(6.12)
Ang kanang bahagi ng (6.12) ay maaaring katawanin bilang tatlong kabuuan:
kung saan ang P ay ang kabuuang momentum ng sistema ng mga materyal na puntos sa bagong frame ng sanggunian. Ang kaugnayan (6.13) ay karaniwang tinatawag na Koenig's theorem. Kung ang bagong sistema ay tumutugma sa q-system, kung gayon ang kabuuang momentum sa loob nito ay katumbas ng zero, V = Vc, na nangangahulugan na ang kaugnayan (6.11) ay humahawak.
Upang tapusin ang seksyong ito, tandaan namin ang dalawang mahahalagang katangian na sumusunod mula sa kahulugan ng sentro ng masa. Una, ang mga particle sa (6.7) ay maaaring pagsamahin sa anumang grupo, halimbawa:
Mula dito, bilang madaling maunawaan, sumusunod na ang sentro ng masa ng anumang sistema ng mga macroscopic na katawan ay matatagpuan bilang ang sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na punto, sa ilalim ng pag-aakalang ang masa ng bawat katawan ay puro sa kanyang sariling sentro ng misa.
At pangalawa, hindi mahirap lumipat mula sa pagsusuma sa (6.7) patungo sa pagsasama kung kalkulahin natin ang posisyon ng sentro ng masa ng isang katawan na may tuluy-tuloy na pamamahagi ng density ng bagay ρ(t):
