Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")
Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.
Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:
1. Unawain ano ang logarithm.
2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.
3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.
Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...
Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Go!
Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b *a c = a b+c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer exponents. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kailangan mong pasimplehin ang masalimuot na multiplikasyon sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Sa simple at naa-access na wika.
Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan "c ” kung saan dapat itaas ang base na “a” para makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng isang kapangyarihan na mula 2 hanggang sa kinakailangang kapangyarihan ay makakakuha ka ng 8. Pagkatapos gumawa ng ilang mga kalkulasyon sa iyong ulo, makuha namin ang numero 3! At totoo iyon, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng sagot bilang 8.
Para sa maraming mga mag-aaral ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. Mayroong tatlong magkakahiwalay na uri ng logarithmic expression:
Ang bawat isa sa kanila ay malulutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang solong logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang mga ito.
Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-mga hadlang na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at ang katotohanan. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang pantay na ugat ng mga negatibong numero. Ang mga logarithm ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunang gumana kahit na may mahaba at may kakayahang logarithmic na mga expression:
Halimbawa, ang gawain ay ibinigay upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x = 100. Ito ay napakadali, kailangan mong pumili ng isang kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero sampu kung saan makakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 = 100.
Ngayon, katawanin natin ang expression na ito sa logarithmic form. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nilulutas ang mga logarithm, halos lahat ng mga aksyon ay nagsasama-sama upang mahanap ang kapangyarihan kung saan kinakailangan upang ipasok ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.
Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:
Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na pag-iisip at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman, para sa mas malalaking halaga kakailanganin mo ng power table. Maaari itong magamit kahit ng mga walang alam tungkol sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection, ang mga cell ay naglalaman ng mga halaga ng numero na ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatotoong humanist ay mauunawaan!
Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equality. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang base 3 logarithm ng 81 na katumbas ng apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin ito bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Titingnan natin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation sa ibaba, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.
Ang sumusunod na expression ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng logarithmic sign. At din sa pagpapahayag ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa bilang tatlo.
Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular na numerical values sa sagot, habang kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng katanggap-tanggap. ang mga halaga at ang mga puntos ay tinutukoy na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang kinahinatnan, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot sa isang equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.
Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain ng paghahanap ng mga halaga ng logarithm, ang mga katangian nito ay maaaring hindi kilala. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Titingnan natin ang mga halimbawa ng mga equation sa ibang pagkakataon, tingnan muna natin ang bawat property nang mas detalyado.
Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of logarithm." Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay batay sa natural na postulates. Tingnan natin ang patunay.
Hayaang mag-log a b = t, lumalabas na a t =b. Kung itataas natin ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;
ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n, samakatuwid mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.
Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithms ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at isa ring kinakailangang bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano maayos na malutas ang mga naturang gawain.
Sa kasamaang palad, walang nag-iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi alam na halaga ng logarithm, ngunit ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa isang pangkalahatang anyo. Maaari mong gawing simple ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila nang mabilis.
Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, dapat nating matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.
Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan nilang matukoy ang kapangyarihan kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Upang malutas ang mga natural na logarithms, kailangan mong ilapat ang mga logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.
Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms.
Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na sa maraming mga logarithmic na problema sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Kadalasan, ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamasalimuot at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nangangailangan ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".
Ang mga halimbawa at solusyon sa mga problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng Unified State Exam. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.
Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4, samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.
Sa tutorial na video na ito ay titingnan natin ang paglutas ng isang medyo seryosong logarithmic equation, kung saan hindi mo lamang kailangan hanapin ang mga ugat, ngunit piliin din ang mga nasa isang partikular na segment.
Problema C1. Lutasin ang equation. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa pagitan.
Gayunpaman, sa bawat taon ay lumalapit sa akin ang mga mag-aaral na nagsisikap na lutasin ang mga ito, sa totoo lang, mahirap equation, ngunit sa parehong oras hindi nila maintindihan: saan sila dapat magsimula at kung paano lumapit sa logarithms? Ang problemang ito ay maaaring lumitaw kahit na sa mga malalakas at handang mag-aaral.
Bilang resulta, marami ang nagsimulang matakot sa paksang ito, o kahit na itinuturing ang kanilang sarili na bobo. Kaya, tandaan: kung hindi mo malutas ang gayong equation, hindi ito nangangahulugan na ikaw ay hangal. Dahil, halimbawa, maaari mong hawakan ang equation na ito halos pasalita:
log 2 x = 4
At kung hindi ito totoo, hindi mo na babasahin ang tekstong ito ngayon, dahil naging abala ka sa mas simple at mas makamundong mga gawain. Siyempre, may tututol na ngayon: "Ano ang kinalaman ng pinakasimpleng equation na ito sa ating malusog na istraktura?" Sagot ko: anumang logarithmic equation, gaano man ito kakomplikado, sa huli ay bumaba sa mga pinakasimpleng istrukturang ito na malulutas nang pasalita.
Siyempre, ang isa ay dapat lumipat mula sa mga kumplikadong logarithmic equation patungo sa mas simple hindi sa pamamagitan ng pagpili o pagsasayaw na may tamburin, ngunit ayon sa malinaw, matagal nang tinukoy na mga patakaran, na tinatawag na - mga panuntunan para sa pag-convert ng mga logarithmic expression. Alam mo ang mga ito, madali mong mahaharap ang kahit na ang pinaka-sopistikadong equation sa Unified State Examination sa matematika.
At ang mga tuntuning ito ang pag-uusapan natin sa aralin ngayon. Go!
Kaya, malulutas namin ang equation:
Una sa lahat, pagdating sa logarithmic equation, natatandaan natin ang mga pangunahing taktika - wika nga, ang pangunahing panuntunan para sa paglutas ng mga logarithmic equation. Binubuo ito ng mga sumusunod:
Ang canonical form theorem. Anumang logarithmic equation, anuman ang kasama nito, anuman ang logarithms, anuman ang base, at anuman ang nilalaman nito, ay dapat na bawasan sa isang equation ng form:
log a f (x) = log a g (x)
Kung titingnan natin ang ating equation, agad nating napapansin ang dalawang problema:
Kaya, pinagsama-sama namin ang listahang ito ng mga problema na naghihiwalay sa aming equation mula doon canonical equation, kung saan ang anumang logarithmic equation ay dapat bawasan sa panahon ng proseso ng solusyon. Kaya, ang paglutas ng aming equation sa yugtong ito ay bumaba sa pag-aalis ng dalawang problemang inilarawan sa itaas.
Ang anumang logarithmic equation ay maaaring malutas nang mabilis at madali kung babawasan mo ito sa kanyang canonical form.
Magpatuloy tayo sa pagkakasunud-sunod. Una, tingnan natin ang istraktura sa kaliwa. Ano ang masasabi natin tungkol sa kabuuan ng dalawang logarithms? Tandaan natin ang napakagandang formula:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Ngunit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang na sa aming kaso ang unang termino ay hindi isang logarithm sa lahat. Nangangahulugan ito na kailangan nating kumatawan sa yunit bilang isang logarithm sa base 2 (tiyak na 2, dahil ang logarithm sa base 2 ay nasa kaliwa). Paano ito gagawin? Alalahanin nating muli ang napakagandang formula:
a = log b b a
Dito kailangan mong maunawaan: kapag sinabi namin ang "Anumang base b", ang ibig naming sabihin ay hindi pa rin maaaring maging isang arbitrary na numero ang b. Kung magpasok tayo ng isang numero sa isang logarithm, tiyak mga paghihigpit, ibig sabihin: ang base ng logarithm ay dapat na mas malaki kaysa sa 0 at hindi dapat katumbas ng 1. Kung hindi, ang logarithm ay walang kabuluhan. Isulat natin ito:
0 < b ≠ 1
Tingnan natin kung ano ang mangyayari sa ating kaso:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Ngayon ay muling isulat natin ang ating buong equation na isinasaalang-alang ang katotohanang ito. At agad kaming nag-aplay ng isa pang panuntunan: ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto ng mga argumento. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
Mayroon kaming bagong equation. Gaya ng nakikita natin, mas malapit na ito sa canonical equation na pinagsusumikapan natin. Ngunit may isang problema, isinulat namin ito bilang pangalawang punto: ang aming logarithms, na nasa kaliwa at kanan, iba't ibang dahilan. Lumipat tayo sa susunod na hakbang.
Kaya ang logarithm sa kaliwa ay may base na 2 lang, at ang logarithm sa kanan ay may ugat sa base. Ngunit hindi ito isang problema kung tatandaan natin na ang mga batayan ng mga argumento ng logarithm ay maaaring itaas sa kapangyarihan. Isulat natin ang isa sa mga panuntunang ito:
log a b n = n log a b
Isinalin sa wika ng tao: maaari mong alisin ang kapangyarihan mula sa base ng logarithm at ilagay ito sa harap bilang isang multiplier. Ang numero n "lumipat" mula sa logarithm palabas at naging koepisyent sa harap.
Madali nating makuha ang kapangyarihan mula sa base ng logarithm. Magiging ganito ang hitsura:
Sa madaling salita, kung aalisin mo ang degree mula sa argumento ng logarithm, ang antas na ito ay isinulat din bilang isang kadahilanan bago ang logarithm, ngunit hindi bilang isang numero, ngunit bilang katumbas na numero 1/k.
Gayunpaman, hindi lang iyon! Maaari nating pagsamahin ang dalawang formula na ito at makabuo ng sumusunod na formula:
Kapag lumitaw ang isang kapangyarihan sa parehong base at argumento ng isang logarithm, maaari tayong makatipid ng oras at gawing simple ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng agarang pag-alis ng mga kapangyarihan sa parehong base at argumento. Sa kasong ito, kung ano ang nasa argumento (sa aming kaso, ito ang koepisyent n) ay lilitaw sa numerator. At kung ano ang degree sa base, a k, ay mapupunta sa denominator.
At ang mga formula na ito ang gagamitin natin ngayon upang mabawasan ang ating logarithms sa parehong base.
Una sa lahat, pumili tayo ng mas marami o hindi gaanong magandang base. Malinaw, ito ay mas kaaya-aya upang gumana sa isang dalawa sa base kaysa sa isang ugat. Kaya't subukan nating bawasan ang pangalawang logarithm sa base 2. Isulat natin ang logarithm na ito nang hiwalay:
Ano ang magagawa natin dito? Alalahanin natin ang power formula na may rational exponent. Sa madaling salita, maaari nating isulat ang mga ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent. At pagkatapos ay kinuha namin ang kapangyarihan ng 1/2 mula sa parehong argumento at ang base ng logarithm. Binabawasan namin ang dalawa sa mga coefficient sa numerator at denominator na nakaharap sa logarithm:
Sa wakas, muling isulat natin ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang mga bagong coefficient:
log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Nakuha namin ang canonical logarithmic equation. Parehong sa kaliwa at sa kanan mayroon kaming logarithm sa parehong base 2. Bukod sa mga logarithm na ito, walang mga coefficient, walang mga termino sa kaliwa o sa kanan.
Dahil dito, maaari nating alisin ang tanda ng logarithm. Siyempre, isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan. Ngunit bago natin gawin iyon, bumalik tayo at gumawa ng kaunting paglilinaw tungkol sa mga fraction.
Hindi lahat ng mga mag-aaral ay naiintindihan kung saan nagmula ang mga salik sa harap ng tamang logarithm at kung saan sila pupunta. Isulat natin itong muli:
Alamin natin kung ano ang isang fraction. Isulat natin:
Ngayon tandaan natin ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction: upang hatiin sa 1/2 kailangan mong i-multiply sa inverted fraction:
Siyempre, para sa kaginhawaan ng karagdagang mga kalkulasyon, maaari naming isulat ang dalawa bilang 2/1 - at ito ang aming naobserbahan bilang pangalawang koepisyent sa proseso ng solusyon.
Sana ngayon ay nauunawaan na ng lahat kung saan nagmumula ang pangalawang koepisyent, kaya dumiretso tayo sa paglutas ng ating canonical logarithmic equation.
Hayaan akong ipaalala sa iyo na maaari na nating alisin ang logarithms at iwanan ang sumusunod na expression:
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa. Nakukuha namin:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Ilipat natin ang lahat mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanan:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Dalhin natin ang mga katulad nito at kumuha ng:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng 2 upang gawing simple ang mga coefficient, at makuha natin ang:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Bago sa amin ay ang karaniwan biquadratic equation, at ang mga ugat nito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng discriminant. Kaya, isulat natin ang discriminant:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Mahusay, ang discriminant ay "maganda", ang ugat nito ay 7. Iyon lang, bilangin natin ang X sa ating sarili. Ngunit sa kasong ito, ang mga ugat ay hindi x, ngunit x 2, dahil mayroon tayong biquadratic equation. Kaya, ang aming mga pagpipilian:
Mangyaring tandaan: kinuha namin ang mga ugat, kaya magkakaroon ng dalawang sagot, dahil... parisukat - kahit function. At kung isusulat lang natin ang ugat ng dalawa, mawawala na lang ang pangalawang ugat.
Ngayon isinusulat namin ang pangalawang ugat ng aming biquadratic equation:
Muli, kinukuha namin ang arithmetic square root ng magkabilang panig ng aming equation at kumuha ng dalawang ugat. Gayunpaman, tandaan:
Hindi sapat na itumbas lamang ang mga argumento ng logarithms sa canonical form. Tandaan ang domain ng kahulugan!
Sa kabuuan mayroon kaming apat na ugat. Ang lahat ng mga ito ay talagang mga solusyon sa aming orihinal na equation. Tingnan: sa aming orihinal na logarithmic equation, ang logarithms sa loob ay alinman sa 9x 2 + 5 (ang function na ito ay palaging positibo) o 8x 4 + 14 - na palaging positibo. Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ng logarithms ay nasiyahan sa anumang kaso, kahit na anong ugat ang makuha natin, na nangangahulugan na ang lahat ng apat na ugat ay mga solusyon sa ating equation.
Mahusay, ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng problema.
Mula sa aming apat na ugat pipiliin namin ang mga nasa segment [−1; 8/9]. Bumalik kami sa aming mga ugat, at ngayon ay isasagawa namin ang kanilang pagpili. Upang magsimula, iminumungkahi kong gumuhit ng isang coordinate axis at markahan ang mga dulo ng segment dito:
Ang parehong mga punto ay malilim. Yung. Ayon sa mga kondisyon ng problema, interesado kami sa may kulay na segment. Ngayon tingnan natin ang mga ugat.
Magsimula tayo sa hindi makatwirang mga ugat. Tandaan na 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Ito ay sumusunod mula dito na ang ugat ng dalawa ay hindi nahuhulog sa segment ng interes sa atin. Katulad nito, makakakuha tayo ng negatibong ugat: mas mababa ito sa −1, iyon ay, nasa kaliwa ng segment ng interes sa atin.
May dalawang ugat na natitira: x = 1/2 at x = −1/2. Pansinin natin na ang kaliwang dulo ng segment (−1) ay negatibo, at ang kanang dulo (8/9) ay positibo. Samakatuwid, sa isang lugar sa pagitan ng mga dulong ito ay namamalagi ang numero 0. Ang ugat x = −1/2 ay nasa pagitan ng −1 at 0, i.e. hahantong sa huling sagot. Ginagawa namin ang parehong sa root x = 1/2. Ang ugat na ito ay nakasalalay din sa segment na isinasaalang-alang.
Maaari mong tiyakin na ang 8/9 ay mas malaki kaysa sa 1/2. Ibawas natin ang mga numerong ito sa isa't isa:
Nakuha namin ang fraction na 7/18 > 0, na sa kahulugan ay nangangahulugan na 8/9 > 1/2.
Markahan natin ang naaangkop na mga ugat sa coordinate axis:
Ang huling sagot ay dalawang ugat: 1/2 at −1/2.
Sa konklusyon, nais kong bumalik muli sa mga hindi makatwirang numero. Gamit ang kanilang halimbawa, titingnan natin ngayon kung paano ihambing ang mga rational at irrational na dami sa matematika. Upang magsimula, mayroong isang tik sa pagitan nila V - isang "higit pa" o "mas kaunti" na senyales, ngunit hindi pa natin alam kung saang direksyon ito nakadirekta. Isulat natin:
Bakit kailangan natin ng anumang mga algorithm sa paghahambing? Ang katotohanan ay sa problemang ito kami ay napakaswerte: sa proseso ng paglutas ng paghahati ng numero 1 ay lumitaw, tungkol sa kung saan maaari nating sabihin:
Gayunpaman, hindi mo palaging makikita ang ganoong numero kaagad. Kaya't subukan nating ihambing ang ating mga numero nang direkta.
Paano ito nagawa? Ginagawa namin ang parehong bilang sa mga ordinaryong hindi pagkakapantay-pantay:
Kung, kapag naghahambing ng mga hindi makatwirang numero, hindi posible na agad na piliin ang naghihiwalay na elemento, inirerekumenda ko ang pagsasagawa ng naturang paghahambing na "head-on" - inilalarawan ito bilang isang ordinaryong hindi pagkakapantay-pantay.
Kapag nilulutas ito, ito ay pormal na ganito:
Ngayon ang lahat ay madaling ihambing. Ang punto ay na 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Iyon lang, nakatanggap kami ng mahigpit na patunay na ang lahat ng mga numero ay minarkahan ng tama sa linya ng numero x at eksakto sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat talaga ang mga ito. Walang sinuman ang makakahanap ng kasalanan sa solusyon na ito, kaya tandaan: kung hindi mo agad makita ang naghahati na numero (sa aming kaso ito ay 1), pagkatapos ay huwag mag-atubiling isulat ang konstruksiyon sa itaas, i-multiply, parisukat ito - at sa huli ikaw ay makakuha ng magandang hindi pagkakapantay-pantay. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magiging malinaw kung aling bilang ang mas malaki at alin ang mas kaunti.
Sa pagbabalik sa ating problema, nais kong muling itawag ang iyong pansin sa kung ano ang ginawa natin sa pinakasimula nang paglutas ng ating equation. Namely: tiningnan naming mabuti ang aming orihinal na logarithmic equation at sinubukang bawasan ito sa kanonikal logarithmic equation. Kung saan mayroon lamang logarithms sa kaliwa at kanan - nang walang anumang karagdagang mga termino, coefficients sa harap, atbp. Hindi namin kailangan ng dalawang logarithms batay sa a o b, ngunit isang logarithm na katumbas ng isa pang logarithm.
Bilang karagdagan, ang mga base ng logarithms ay dapat ding pantay. Bukod dito, kung ang equation ay binubuo ng tama, pagkatapos ay sa tulong ng elementarya logarithmic transformations (kabuuan ng logarithms, pagbabago ng isang numero sa isang logarithm, atbp.) Bawasan namin ang equation na ito sa kanonikal na isa.
Samakatuwid, mula ngayon, kapag nakakita ka ng isang logarithmic equation na hindi malulutas kaagad, hindi ka dapat mawala o subukang malaman ang sagot. Ang kailangan mo lang gawin ay sundin ang mga hakbang na ito:
Bilang resulta, makakakuha ka ng isang simpleng equation na maaaring malutas gamit ang mga elementary algebra tool mula sa grade 8-9 na materyales. Sa pangkalahatan, pumunta sa aking website, magsanay sa paglutas ng mga logarithms, paglutas ng mga logarithmic equation na tulad ko, lutasin ang mga ito nang mas mahusay kaysa sa akin. At iyon lang para sa akin. Kasama mo si Pavel Berdov. Sa muling pagkikita!
Logarithmic expression, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito titingnan natin ang mga problemang may kaugnayan sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtatanong sa paghahanap ng kahulugan ng isang pagpapahayag. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at ang pag-unawa sa kahulugan nito ay napakahalaga. Tulad ng para sa Unified State Exam, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.
Magbigay tayo ng mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Mga katangian ng logarithms na dapat palaging tandaan:
*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang exponent ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.
* * *
*Transition sa isang bagong pundasyon
* * *
Higit pang mga katangian:
* * *
Ang pagkalkula ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.
Ilista natin ang ilan sa mga ito:
Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag ang numerator ay inilipat sa denominator at vice versa, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:
Isang resulta mula sa property na ito:
* * *
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.
* * *
Tulad ng nakita mo, ang konsepto ng logarithm mismo ay simple. Ang pangunahing bagay ay kailangan mo ng mahusay na kasanayan, na nagbibigay sa iyo ng isang tiyak na kasanayan. Siyempre, kailangan ang kaalaman sa mga formula. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi pa nabuo, kung gayon kapag nilutas ang mga simpleng gawain madali kang magkamali.
Magsanay, lutasin muna ang mga pinakasimpleng halimbawa mula sa kursong matematika, pagkatapos ay magpatuloy sa mas kumplikadong mga halimbawa. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalulutas ang mga "nakakatakot" na logarithms;
Iyon lang! Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
