Nagbibigay ng reference na data sa exponential function - mga pangunahing katangian, graph at formula. Ang mga sumusunod na paksa ay isinasaalang-alang: domain ng kahulugan, set ng mga halaga, monotonicity, inverse function, derivative, integral, pagpapalawak ng power series at representasyon gamit ang mga kumplikadong numero.
Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n mga numero na katumbas ng a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
sa hanay ng mga tunay na numero x:
y (x) = palakol.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag batayan ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponent sa base a.
Ang paglalahat ay isinasagawa bilang mga sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,...
, ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Para sa mga zero at negatibong halaga ng mga integer, ang exponential function ay tinutukoy gamit ang mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m/n rational na mga numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang ang limitasyon ng sequence:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x: .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), tulad ng para sa natural na x.
Ang isang mahigpit na mathematical formulation ng kahulugan ng isang exponential function at ang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Depinisyon at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".
Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero ():
(1.1)
tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2)
para sa isang ≠ 1
ay may maraming kahulugan;
(1.3)
mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4)
sa ;
sa ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula.
.
Formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang exponent base:
Kapag b = e, nakukuha natin ang expression ng exponential function sa pamamagitan ng exponential:
, , , , .
Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = palakol
para sa apat na halaga mga batayan ng degree: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
at a = 1/8
. Makikita na para sa isang > 1
monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0
< a < 1
monotonically bumababa ang exponential function. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.
Ang exponential function para sa ay mahigpit na monotonic at samakatuwid ay walang extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.
| y = a x , a > 1 | y = palakol, 0 < a < 1 | |
| Domain | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Saklaw ng mga halaga | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotone | monotonically pagtaas | monotonically bumababa |
| Mga zero, y = 0 | Hindi | Hindi |
| Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Ang kabaligtaran ng isang exponential function na may base a ay ang logarithm sa base a.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.
Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.
Upang gawin ito kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa derivatives table:
.
Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:
Ilapat natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong function. Upang gawin ito, ipakilala ang variable
Pagkatapos
Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z):
.
Dahil isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:
.
.
Derivative ng nth order:
.
Pagkuha ng mga formula > > >
Hanapin ang derivative ng isang function
y = 3 5 x
Solusyon
Ipahayag natin ang base ng exponential function sa pamamagitan ng numero e.
3 = e ln 3
Pagkatapos
.
Maglagay ng variable
.
Pagkatapos
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Dahil ang 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.
Sagot
Isaalang-alang ang complex number function z:
f (z) = isang z
kung saan z = x + iy; i 2 = - 1
.
Ipahayag natin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at argument φ:
a = r e i φ
Pagkatapos
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Sa pangkalahatan
φ = φ 0 + 2 πn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid ang function f (z) ay hindi rin malinaw. Ang pangunahing kahalagahan nito ay madalas na isinasaalang-alang
.
.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Mga limitasyon at pagpapatuloy
Mga set
Sa ilalim marami ay nauunawaan bilang isang koleksyon ng mga homogenous na bagay. Ang mga bagay na bumubuo ng isang set ay tinatawag mga elemento o tuldok ng karamihang ito. Ang mga set ay tinutukoy ng malalaking titik at ang kanilang mga elemento sa pamamagitan ng maliliit na titik. Kung a ay isang elemento ng set A, pagkatapos ay ginagamit ang entry aÎ A. Kung b ay hindi isang elemento ng set A, pagkatapos ito ay nakasulat na ganito: b Ï A. Ang isang set na hindi naglalaman ng isang elemento ay tinatawag na isang walang laman na hanay at ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: Ø.
Kung ang set B ay binubuo ng bahagi ng mga elemento ng set A o kasabay nito, pagkatapos ay ang set B tinawag subset nagtatakda at nagsasaad BÌ A.
Ang dalawang set ay tinatawag pantay, kung binubuo sila ng parehong mga elemento.
Samahan dalawang parte A At B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elementong kabilang sa kahit isa sa mga set: C=AÈ B.
Sa pagtawid dalawang parte A At B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento na kabilang sa bawat isa sa mga set na ito: C=AÇ B.
Sa pamamagitan ng pagkakaiba set A At B tinatawag na set E A, na hindi kabilang sa set B: .
Supplement set AÌ B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng set B, hindi pag-aari A.
Tinatawag ang mga set na ang mga elemento ay totoong numero numerical:
Kung saan NÌ ZÌ QÌ R, akoÌ R At R=akoÈ Q.
Isang grupo ng X, na ang mga elemento ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag segment(segment) at tinutukoy ng [ a; b]; hindi pagkakapantay-pantay a<x<b – pagitan at tinutukoy ng () ; hindi pagkakapantay-pantay at - kalahating pagitan at ay tinutukoy ng at ayon sa pagkakabanggit. Madalas mo ring kailangang harapin ang mga walang katapusang pagitan at kalahating pagitan: , , , at . Maginhawang tawagan silang lahat sa mga pagitan .
Pagitan, i.e. hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay (kung saan ), ay tinatawag na -kapitbahayan ng punto a.
Ang konsepto ng pag-andar. Mga pangunahing katangian ng isang function
Kung ang bawat elemento x set X isang elemento ang tumugma y set Y, tapos sinasabi nila yan sa set X binigay function y=f(x). Kung saan x tinawag malayang baryabol o argumento, A y – dependent variable o function, A f nagsasaad ng batas ng pagsusulatan. Isang grupo ng X tinawag domain ng kahulugan function, at isang set Y – hanay ng mga halaga mga function.
Mayroong ilang mga paraan upang tukuyin ang mga function.
1) Analytical method - ang function ay ibinibigay ng isang formula ng form y=f(x).
2) Tabular na pamamaraan - ang function ay tinukoy ng isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function y=f(x).
3) Grapikong pamamaraan - naglalarawan ng isang graph ng isang function, i.e. hanay ng mga puntos ( x; y) coordinate plane, ang abscissas na kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng function y=f(x).
4) Verbal method - ang isang function ay inilalarawan ng panuntunan para sa komposisyon nito. Halimbawa, kinukuha ng Dirichlet function ang value 1 kung x ay isang rational na numero at 0 kung x– hindi makatwiran na numero.
Ang mga sumusunod na pangunahing katangian ng mga pag-andar ay nakikilala.
1 Kahit at kakaiba Function y=f(x) ay tinatawag na kahit, kung para sa anumang mga halaga x mula sa domain ng kahulugan nito ay nasiyahan f(–x)=f(x), At kakaiba, Kung f(–x)=–f(x). Kung wala sa mga nakalistang pagkakapantay-pantay ang nasiyahan, kung gayon y=f(x) ay tinatawag na pangkalahatang pag-andar. Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis Oy, at ang graph ng kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
2 Monotony Function y=f(x) ay tinatawag na dumarami (bumababa) sa pagitan X, kung ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaki (mas maliit) na halaga ng function. Hayaan x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Pagkatapos ay tumataas ang function sa pagitan X, Kung f(x 2)>f(x 1), at bumababa kung f(x 2)<f(x 1).
Kasabay ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ang hindi bumababa at hindi tumataas na mga function ay isinasaalang-alang. Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung sa x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x May 1 hindi pagkakapantay-pantay f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).
Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, pati na rin ang mga hindi tumataas at hindi bumababa na mga function ay tinatawag na monotonic.
3 Limitado Function y=f(x) ay tinatawag na hangganan sa pagitan X, kung mayroong ganoong positibong numero M>0, ano | f(x)|≤M para kahit kanino xÎ X. Kung hindi, ang function ay sinasabing walang hangganan X.
4 Dalas Function y=f(x) ay tinatawag na periodic na may period T≠0, kung para sa alinman x mula sa domain ng function f(x+T)=f(x). Sa kung ano ang sumusunod, ayon sa tuldok ang ibig naming sabihin ay ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang function.
Tinatawag ang function tahasan, kung ito ay ibinigay ng isang pormula ng form y=f(x). Kung ang function ay ibinigay ng equation F(x, y)=0, hindi pinahihintulutan na may kaugnayan sa dependent variable y, pagkatapos ito ay tinatawag na implicit.
Hayaan y=f(x) ay isang function ng independent variable na tinukoy sa set X may saklaw Y. Pagtugmain natin ang bawat isa yÎ Y iisang kahulugan xÎ X, Kung saan f(x)=y.Pagkatapos ang resultang function x=φ (y), tinukoy sa set Y may saklaw X, tinawag reverse at itinalaga y=f –1 (x). Ang mga graph ng magkabaligtaran na mga function ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate quarter.
Hayaan ang function y=f(u) ay isang function ng isang variable u, tinukoy sa set U may saklaw Y, at ang variable u sa turn ay isang function u=φ (x), tinukoy sa set X may saklaw U. Tapos binigay sa set X function y=f(φ (x)) ay tinatawag na kumplikadong pag-andar(komposisyon ng mga function, superposisyon ng mga function, function ng isang function).
Mga tungkulin sa elementarya
Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay kinabibilangan ng:
Mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya, maaaring makuha ang mga bagong pag-andar gamit ang mga algebraic na operasyon at superposisyon ng mga pag-andar.
Tinatawag na mga function na binuo mula sa mga pangunahing elementary function gamit ang isang may hangganan na bilang ng algebraic operations at isang may hangganang bilang ng superposition operations. elementarya.
Algebraic ay isang function kung saan ang isang finite number of algebraic operations ay ginaganap sa argument. Kasama sa mga algebraic function ang:
· isang buong rational function (polynomial o polynomial)
· fractional-rational function (ratio ng dalawang polynomial)
· hindi makatwiran na pag-andar (kung kasama sa mga operasyon sa argumento ang pagkuha ng ugat).
Anumang non-algebraic function ay tinatawag transendental. Kabilang sa mga transendental na function ang exponential, logarithmic, trigonometric, at inverse trigonometric function.
Ang mga katangian at mga graph ng mga function ng kapangyarihan para sa iba't ibang mga halaga ng exponent ay ipinakita. Mga pangunahing formula, mga domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, parity, monotonicity, pagtaas at pagbaba, extrema, convexity, inflections, mga punto ng intersection na may mga coordinate axes, mga limitasyon, mga partikular na halaga.
Sa domain ng kahulugan ng power function y = x p ang mga sumusunod na formula ay hawak:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Kung ang exponent ng power function y = x p ay katumbas ng zero, p = 0, kung gayon ang power function ay tinukoy para sa lahat ng x ≠ 0 at isang pare-parehong katumbas ng isa:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural na kakaibang exponent n = 1, 3, 5, ... . Ang indicator na ito ay maaari ding isulat sa anyo: n = 2k + 1, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, ... ay isang hindi negatibong integer. Nasa ibaba ang mga katangian at mga graph ng mga naturang function.
Graph ng power function na y = x n na may natural na kakaibang exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 1, 3, 5, ....
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang kahulugan: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: monotonically pagtaas
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0
выпукла вверх
sa 0< x < ∞
выпукла вниз
Mga inflection point: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 1, ang function ay ang kabaligtaran nito: x = y
para sa n ≠ 1, ang inverse function ay ang ugat ng degree n:
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural even exponent n = 2, 4, 6, ... . Ang tagapagpahiwatig na ito ay maaari ding isulat sa anyo: n = 2k, kung saan k = 1, 2, 3, ... - natural. Ang mga katangian at mga graph ng naturang mga function ay ibinigay sa ibaba.
Graph ng power function na y = x n na may natural even exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 2, 4, 6, ....
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang kahulugan: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
para sa x ≤ 0 monotonically bumababa
para sa x ≥ 0 monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa, x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 2, square root:
para sa n ≠ 2, ugat ng degree n:
Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may integer negative exponent n = -1, -2, -3, ... . Kung ilalagay natin ang n = -k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero, kung gayon maaari itong katawanin bilang:
Graph ng power function y = x n na may negatibong integer exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = -1, -2, -3, ... .
Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may kakaibang negatibong exponent n = -1, -3, -5, ....
Domain: x ≠ 0
Maramihang kahulugan: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вверх
para sa x > 0: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
kapag n = -1,
sa n< -2
,
Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may pantay na negatibong exponent n = -2, -4, -6, ....
Domain: x ≠ 0
Maramihang kahulugan: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно возрастает
para sa x > 0: monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
sa n = -2,
sa n< -2
,
Isaalang-alang ang power function na y = x p na may rational (fractional) exponent, kung saan ang n ay isang integer, ang m > 1 ay isang natural na numero. Bukod dito, ang n, m ay walang mga karaniwang divisors.
Hayaang kakaiba ang denominator ng fractional exponent: m = 3, 5, 7, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay tinukoy para sa parehong positibo at negatibong mga halaga ng argumento x. Isaalang-alang natin ang mga katangian ng naturang mga function ng kapangyarihan kapag ang exponent p ay nasa loob ng ilang mga limitasyon.
Hayaang ang rational exponent (na may kakaibang denominator m = 3, 5, 7, ...) ay mas mababa sa zero: .
Mga graph ng power function na may rational negative exponent para sa iba't ibang value ng exponent, kung saan m = 3, 5, 7, ... - kakaiba.
Ipinakita namin ang mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent, kung saan ang n = -1, -3, -5, ... ay isang kakaibang negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na integer.
Domain: x ≠ 0
Maramihang kahulugan: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вверх
para sa x > 0: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
Mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent, kung saan ang n = -2, -4, -6, ... ay isang kahit na negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na integer .
Domain: x ≠ 0
Maramihang kahulugan: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно возрастает
para sa x > 0: monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
Graph ng power function na may rational exponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang kahulugan: -∞ < y < +∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: monotonically pagtaas
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вниз
para sa x > 0: matambok paitaas
Mga inflection point: x = 0, y = 0
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = -1
sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Ang mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent sa loob ng 0 ay ipinakita< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang kahulugan: 0 ≤ y< +∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно убывает
para sa x > 0: monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok paitaas para sa x ≠ 0
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Tanda: para sa x ≠ 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = 1
sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Graph ng power function na may rational exponent (p > 1) para sa iba't ibang value ng exponent, kung saan m = 3, 5, 7, ... - kakaiba.
Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 5, 7, 9, ... - kakaibang natural, m = 3, 5, 7 ... - kakaibang natural.
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang kahulugan: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: monotonically pagtaas
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0
выпукла вверх
sa 0< x < ∞
выпукла вниз
Mga inflection point: x = 0, y = 0
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = -1
sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 4, 6, 8, ... - kahit natural, m = 3, 5, 7 ... - kakaibang natural.
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang kahulugan: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
монотонно убывает
para sa x > 0 monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1, y(-1) = 1
sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Hayaang maging pantay ang denominator ng fractional exponent: m = 2, 4, 6, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay hindi tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento. Ang mga katangian nito ay tumutugma sa mga katangian ng isang power function na may hindi makatwiran na exponent (tingnan ang susunod na seksyon).
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p na may hindi makatwirang exponent p. Ang mga katangian ng naturang mga pag-andar ay naiiba sa mga tinalakay sa itaas dahil hindi sila tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumentong x. Para sa mga positibong halaga ng argumento, ang mga katangian ay nakasalalay lamang sa halaga ng exponent p at hindi nakadepende sa kung ang p ay integer, rational, o hindi makatwiran.
y = x p para sa iba't ibang mga halaga ng exponent p.
Domain: x > 0
Maramihang kahulugan: y > 0
Monotone: monotonically bumababa
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Mga limitasyon: ;
Pribadong kahulugan: Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domain: x ≥ 0
Maramihang kahulugan: y ≥ 0
Monotone: monotonically pagtaas
Matambok: matambok pataas
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domain: x ≥ 0
Maramihang kahulugan: y ≥ 0
Monotone: monotonically pagtaas
Matambok: matambok pababa
Mga inflection point: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x = 0, y = 0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Upang maunawaan ang paksang ito, isaalang-alang natin ang isang function na inilalarawan sa isang graph // Ipakita natin kung paano nagbibigay-daan sa iyo ang isang graph ng isang function na matukoy ang mga katangian nito.
Ang domain ng kahulugan ng function ay span [ 3.5; 5.5].
Ang hanay ng mga halaga ng function ay span [ 1; 3].
1. Sa x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, ang halaga ng function ay zero.
Ang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay zero ay tinatawag na function na zero.
//mga. para sa function na ito ang mga numero ay -3;-1;1.5; Ang 4.5 ay mga zero.
2. Sa pagitan [ 4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang graph ng function na f ay matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) sa ibaba ng axis abscissa, ito ay ipinaliwanag bilang mga sumusunod: sa mga pagitan [4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang function ay kumukuha ng mga positibong halaga, at sa mga pagitan (-3; -1) at ( 1.5; 4.5) negatibo.
Ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na agwat (kung saan ang pag-andar ay kumukuha ng mga halaga ng parehong tanda) ay tinatawag na agwat ng pare-parehong pag-sign ng pag-andar f.//i.e. halimbawa, kung kukunin natin ang agwat (0; 3), kung gayon ito ay hindi isang agwat ng pare-parehong tanda ng pagpapaandar na ito.
Sa matematika, kapag naghahanap ng mga pagitan ng palaging pag-sign ng isang function, kaugalian na ipahiwatig ang mga pagitan ng maximum na haba. //Yung. ang pagitan (2; 3) ay pagitan ng constancy ng sign function f, ngunit ang sagot ay dapat isama ang pagitan [4.5; 3) na naglalaman ng pagitan (2; 3).
3. Kung lilipat ka sa kahabaan ng x-axis mula 4.5 hanggang 2, mapapansin mong bumababa ang function graph, ibig sabihin, bumababa ang mga value ng function. //Sa matematika ay kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 4.5; 2] bumababa ang function.
Habang tumataas ang x mula 2 hanggang 0, tumataas ang graph ng function, i.e. tumataas ang mga halaga ng function. //Sa matematika ay kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 2; 0] tumataas ang function.
Ang isang function na f ay tinatawag kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa pagitan na ito na ang x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x2) > f (x1) ay humahawak. // o tinatawag ang function pagtaas sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argument mula sa pagitan na ito, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.//i.e. mas maraming x, mas maraming y.
Tinatawag ang function na f bumababa sa ilang pagitan, kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa agwat na ito tulad ng x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x2) ay bumababa sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argumento mula sa pagitan na ito ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function. //mga. mas maraming x, mas kaunti ang y.
Kung ang isang function ay tumaas sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag dumarami.
Kung ang isang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag bumababa.
Halimbawa 1. graph ng pagtaas at pagbaba ng mga function ayon sa pagkakabanggit.
Halimbawa 2.
Tukuyin ang kababalaghan. Ang linear function ba ay f(x) = 3x + 5 ay tumataas o bumababa?
Patunay. Gamitin natin ang mga kahulugan. Hayaang ang x1 at x2 ay mga arbitrary na halaga ng argumento, at x1< x2., например х1=1, х2=7
Ang seksyon ay naglalaman ng reference na materyal sa mga pangunahing elementarya na pag-andar at ang kanilang mga katangian. Ang isang pag-uuri ng mga elementary function ay ibinigay. Nasa ibaba ang mga link sa mga subsection na tumatalakay sa mga katangian ng mga partikular na function - mga graph, formula, derivatives, antiderivatives (integrals), series expansions, expressions through complex variables.
Algebraic function ay isang function na nakakatugon sa equation:
,
kung saan ay isang polynomial sa dependent variable y at ang independent variable x. Maaari itong isulat bilang:
,
nasaan ang mga polynomial.
Ang mga algebraic function ay nahahati sa polynomials (buong rational functions), rational functions at irrational functions.
Buong rational function, na tinatawag ding polinomyal o polinomyal, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganang bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas) at pagpaparami. Pagkatapos buksan ang mga bracket, ang polynomial ay nabawasan sa canonical form:
.
Fractional rational function, o simple lang rational function, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganang bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas), multiplikasyon at paghahati. Ang rational function ay maaaring bawasan sa anyo
,
saan at mga polynomial.
Hindi makatwiran na pag-andar ay isang algebraic function na hindi makatwiran. Bilang isang tuntunin, ang isang hindi makatwiran na pag-andar ay nauunawaan bilang mga ugat at ang kanilang mga komposisyon na may mga makatuwirang pag-andar. Ang isang ugat ng degree n ay tinukoy bilang ang solusyon sa equation
.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod:
.
Mga transendental na pag-andar ay tinatawag na non-algebraic function. Ang mga ito ay exponential, trigonometric, hyperbolic at ang kanilang mga inverse function.
Ang lahat ng elementarya na pag-andar ay maaaring katawanin bilang isang may hangganang bilang ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati na isinagawa sa isang pagpapahayag ng anyo:
z t .
Ang mga inverse function ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng logarithms. Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay nakalista sa ibaba.
Power function:
y(x) = x p ,
kung saan ang p ay ang exponent. Depende ito sa base ng degree x.
Ang kabaligtaran ng power function ay ang power function din:
.
Para sa isang integer na hindi negatibong halaga ng exponent p, ito ay isang polynomial. Para sa isang integer na halaga p - isang rational function. Na may makatwirang kahulugan - isang hindi makatwiran na pag-andar.
Exponential function:
y(x) = a x ,
kung saan ang a ay ang batayan ng antas. Depende ito sa exponent x.
Ang kabaligtaran na pag-andar ay ang logarithm upang ibase ang isang:
x = mag-log a y.
Exponent, e sa x power:
y(x) = e x ,
Isa itong exponential function na ang derivative ay katumbas ng function mismo:
.
Ang base ng exponent ay ang numerong e:
≈ 2,718281828459045...
.
Ang inverse function ay ang natural na logarithm - ang logarithm sa base ng numero e:
x = ln y ≡ log e y.
Trigonometric function:
Sine: ;
Cosine: ;
Tangent: ;
Cotangent: ;
Narito ang i ay ang haka-haka na yunit, i 2 = -1.
Inverse trigonometriko function:
Arcsine: x = arcsin y,
;
Arc cosine: x = arccos y,
;
Arctangent: x = arctan y,
;
Arc padaplis: x = arcctg y,
.
