Ang dalawang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na katumbas kung ang hanay ng lahat ng kanilang mga solusyon ay magkakasabay.
Ang mga pangunahing pagbabagong-anyo ng isang sistema ng mga equation ay:
- Pagtanggal ng mga trivial equation mula sa system, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero;
- Pagpaparami ng anumang equation sa isang numero maliban sa zero;
- Pagdaragdag sa anumang i-th equation ng anumang j-th equation na na-multiply sa anumang numero.
Ang isang variable na x i ay tinatawag na libre kung ang variable na ito ay hindi pinapayagan, ngunit ang buong sistema ng mga equation ay pinapayagan.
Teorama. Binabago ng mga elementarya na pagbabago ang isang sistema ng mga equation sa isang katumbas.
Ang kahulugan ng pamamaraang Gaussian ay upang baguhin ang orihinal na sistema ng mga equation at makakuha ng katumbas na naresolba o katumbas na hindi naaayon na sistema.
Kaya, ang pamamaraang Gaussian ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
Bilang resulta, pagkatapos ng ilang hakbang ay makakakuha tayo ng alinman sa nalutas na sistema (maaaring may mga libreng variable) o isang hindi naaayon. Ang mga pinapayagang system ay nahahati sa dalawang kaso:
Iyon lang! Nalutas ang sistema ng mga linear na equation! Ito ay isang medyo simpleng algorithm, at upang makabisado ito hindi mo kailangang makipag-ugnay sa isang mas mataas na tagapagturo ng matematika. Tingnan natin ang isang halimbawa:
Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:
Paglalarawan ng mga hakbang:
Ang pangkalahatang solusyon ng isang sabay-sabay na sistema ng mga linear na equation ay isang bagong sistema, katumbas ng orihinal, kung saan ang lahat ng pinapayagang mga variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga libre.
Kailan maaaring kailanganin ang isang pangkalahatang solusyon? Kung kailangan mong gumawa ng mas kaunting mga hakbang kaysa sa k (k ay kung gaano karaming mga equation ang mayroon). Gayunpaman, ang mga dahilan kung bakit nagtatapos ang proseso sa ilang hakbang l< k , может быть две:
Mahalagang maunawaan na ang paglitaw ng isang hindi pare-parehong equation gamit ang Gaussian method ay isang sapat na batayan para sa inconsistency. Kasabay nito, tandaan namin na bilang isang resulta ng ika-1 hakbang, walang mga maliit na equation ang maaaring manatili - lahat ng mga ito ay na-cross out mismo sa proseso.
Paglalarawan ng mga hakbang:
Kaya, hindi pare-pareho ang sistema dahil natuklasan ang isang hindi pare-parehong equation.
Gawain. I-explore ang compatibility at humanap ng pangkalahatang solusyon sa system:
Paglalarawan ng mga hakbang:
Kaya, ang sistema ay pare-pareho at hindi tiyak, dahil mayroong dalawang pinapayagang mga variable (x 1 at x 2) at dalawang libre (x 3 at x 4).
Carl Friedrich Gauss - German mathematician, tagapagtatag ng paraan ng paglutas ng mga SLAE ng parehong pangalan
Si Carl Friedrich Gauss ay isang sikat na mahusay na dalub-agbilang at minsan ay kinilala siya bilang "Hari ng Matematika". Bagama't ang pangalang "Paraan ni Gauss" ay karaniwang tinatanggap, hindi si Gauss ang may-akda nito: Ang pamamaraan ni Gauss ay kilala na bago pa siya. Ang unang paglalarawan nito ay nasa Chinese treatise na "Mathematics in Nine Books," na pinagsama-sama sa pagitan ng ika-2 siglo. BC e. at ako siglo. n. e. at ito ay isang compilation ng mga naunang akdang isinulat noong ika-10 siglo. BC e.
– pare-parehong pagbubukod ng mga hindi alam. Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang malutas ang mga quadratic system ng linear algebraic equation. Bagama't madaling malutas ang mga equation gamit ang pamamaraang Gauss, kadalasan ay hindi mahanap ng mga mag-aaral ang tamang solusyon dahil nalilito sila tungkol sa mga palatandaan (mga plus at minus). Samakatuwid, kapag nilulutas ang mga SLAE, kailangan mong maging lubhang maingat at saka mo lang madali, mabilis at tama na malutas kahit ang pinakakumplikadong equation.
Ang mga sistema ng linear algebraic equation ay may ilang mga pakinabang: ang equation ay hindi kailangang maging pare-pareho nang maaga; posible na malutas ang mga sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero; Posibleng gamitin ang pamamaraang Gaussian upang makamit ang mga resulta na may medyo maliit na bilang ng mga pagpapatakbo ng computational.
Tulad ng nabanggit na, ang pamamaraang Gaussian ay nagdudulot ng ilang kahirapan para sa mga mag-aaral. Gayunpaman, kung matutunan mo ang paraan ng solusyon at algorithm, mauunawaan mo kaagad ang mga intricacies ng solusyon.
Una, i-systematize natin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation.
Tandaan!
Depende sa mga elemento nito, ang isang SLAE ay maaaring magkaroon ng:
Sa unang dalawang kaso, ang SLAE ay tinatawag na compatible, at sa pangatlong kaso, ito ay tinatawag na incompatible. Kung ang isang sistema ay may isang solusyon, ito ay tinatawag na tiyak, at kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon ang sistema ay tinatawag na hindi tiyak.
Gauss method - theorem, mga halimbawa ng solusyon na-update: Nobyembre 22, 2019 ni: Mga Artikulo sa Siyentipiko.Ru
Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang araling ito ay ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear na equation sa pangkalahatan, kung sa tingin mo ay tulad ng isang tsarera, pagkatapos ay inirerekumenda ko na magsimula sa mga pangunahing kaalaman sa pahina Susunod, ito ay kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin.
Ang Gaussian method ay madali! Bakit? Ang sikat na German mathematician na si Johann Carl Friedrich Gauss, noong nabubuhay pa siya, ay tumanggap ng pagkilala bilang pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, isang henyo, at maging ang palayaw na "Hari ng Mathematics." At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga sucker ang nakakakuha ng pera, kundi pati na rin ang mga henyo - ang larawan ni Gauss ay nasa 10 Deutschmark banknote (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay nakangiti pa rin nang misteryoso sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo.
Ang pamamaraan ng Gauss ay simple na ang KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL AY SAPAT na upang makabisado ito. Dapat marunong kang magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang mga guro ay madalas na isinasaalang-alang ang paraan ng sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi alam sa mga elective sa matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit hinahanap ng mga mag-aaral ang pamamaraang Gaussian na pinakamahirap. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong pag-usapan ang algorithm ng pamamaraan sa isang naa-access na form.
Una, i-systematize natin ang kaunting kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring:
1) Magkaroon ng natatanging solusyon. 2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. 3) Walang mga solusyon (maging hindi magkasanib).
Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at unibersal na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin, Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. At ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam Anyway hahantong tayo sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang isang artikulo ay nakatuon sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana nang pareho sa lahat ng tatlong mga kaso.
Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation? at lutasin ito gamit ang Gaussian method.
Ang unang hakbang ay isulat pinahabang system matrix: . Sa palagay ko makikita ng lahat sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang isinulat ng mga coefficient. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay walang anumang mathematical na kahulugan - ito ay simpleng strikethrough para sa kadalian ng disenyo.
Sanggunian : Inirerekomenda kong tandaan mo mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix – ito ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng termino, sa kasong ito: . Para sa kaiklian, alinman sa mga matrice ay maaaring tawaging isang matrix.
Matapos maisulat ang pinahabang system matrix, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya.
Ang mga sumusunod na pagbabagong elementarya ay umiiral:
1) Mga string matrice Pwede muling ayusin sa ilang lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong walang sakit na muling ayusin ang una at pangalawang hilera: 
2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, dapat mong tanggalin Ang lahat ng mga row na ito ay mula sa matrix maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix 
. Sa matrix na ito, ang huling tatlong hilera ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: 
.
3) Kung ang isang zero na hilera ay lilitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, dapat din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan lahat ng mga zero.
4) Ang matrix row ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya sa -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: 
. Ang pagkilos na ito ay lubhang kapaki-pakinabang dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.
5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa isang hilera ng isang matrix maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Tingnan natin ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko ang pagbabago nang detalyado. I-multiply ang unang linya sa –2: 
, At sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng –2: 
. Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" sa pamamagitan ng –2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADDED LI – hindi nagbago. Laging nagbabago ang linyang TO WHICH IS ADDED UT.
Sa pagsasagawa, siyempre, hindi nila ito isinulat nang detalyado, ngunit isulat ito nang maikli: 
Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang linya na pinarami ng –2. Ang isang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, kung saan ang proseso ng pagkalkula ng pag-iisip ay nangyayari tulad nito:
"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang linya: 
»
“Unang column. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang isa sa itaas sa –2: , at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (–2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: 
»
“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas, pinaparami ko ang -1 sa -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: 
»
“At ang ikatlong column. Sa tuktok pinarami ko ang -5 sa -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: –7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: 
»
Mangyaring maingat na maunawaan ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, kung gayon ang Gaussian na pamamaraan ay halos nasa iyong bulsa. Ngunit, siyempre, gagawin pa rin natin ang pagbabagong ito.
Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation
! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung bibigyan ka ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinibigay "sa kanilang sarili." Halimbawa, sa "klasikal" mga operasyon na may mga matrice Sa anumang pagkakataon dapat mong muling ayusin ang anumang bagay sa loob ng mga matrice! Balik tayo sa ating sistema. Ito ay halos pinutol.
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, bawasan ito sa stepped view:
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. At muli: bakit natin i-multiply ang unang linya sa –2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya.
(2) Hatiin ang pangalawang linya ng 3.
Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya
–
bawasan ang matrix sa stepwise form: 
. Sa disenyo ng gawain, minarkahan lamang nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal sa pang-agham at pang-edukasyon na panitikan ito ay madalas na tinatawag trapezoidal view o tatsulok na view.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:
Ngayon ang system ay kailangang "makawala" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba hanggang sa itaas, ang prosesong ito ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.
Sa mas mababang equation mayroon na tayong handa na resulta: .
Isaalang-alang natin ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito:
Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang pamamaraang Gaussian ay nangangailangan ng paglutas ng isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.
Halimbawa 1
Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method: 
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system: 
Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa panahon ng solusyon: 
At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepwise form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimula?
Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero: 
Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, -1 (at kung minsan ang iba pang mga numero) ay gagawin, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isa ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya: 
Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.
Nakaayos ang unit sa kaliwang sulok sa itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito: 
Nakukuha namin ang mga zero gamit ang isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa –2: (–2, –4, 2, –18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa pag-iisip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya, na pinarami na ng –2:
Isinulat namin ang resulta sa pangalawang linya: 
Haharapin namin ang ikatlong linya sa parehong paraan (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa –3: (–3, –6, 3, –27). AT sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng –3:
Isinulat namin ang resulta sa ikatlong linya:
Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa nang pasalita at nakasulat sa isang hakbang: 
Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "pagpasok" ng mga resulta pare-pareho at kadalasan ay ganito: una nating isusulat muli ang unang linya, at dahan-dahang ibinuga ang ating sarili - KONSISTENTO at MAPANSIN:
At napag-usapan ko na ang mental na proseso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.
Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin; hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya sa pamamagitan ng -2, dahil mas maliit ang mga numero, mas simple ang solusyon:
Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, kailangan mong makakuha ng isa pang zero dito: 
Para dito sa ikatlong linya idinaragdag namin ang pangalawang linya na pinarami ng –2:
Subukang alamin ang aksyon na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at gawin ang karagdagan.
Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na sistema ng mga linear na equation: 
Malamig.
Ngayon ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba hanggang sa itaas.
Sa ikatlong equation mayroon na tayong handa na resulta:
Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "zet" ay kilala na, kaya:
At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Igrek" at "zet" ay kilala, ito ay isang bagay lamang ng maliliit na bagay:
Sagot: 
Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation posible at kinakailangan upang suriin ang solusyon na natagpuan, sa kabutihang palad, ito ay madali at mabilis.
Halimbawa 2
Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, isang sample ng huling disenyo at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.
Dapat tandaan na ang iyong progreso ng desisyon maaaring hindi tumutugma sa proseso ng aking desisyon, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!
Halimbawa 3
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method 
Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Dapat meron tayo doon. Ang problema ay walang mga yunit sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idinaragdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Ibig sabihin, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang hindi nagbago ang pangalawang linya.
Ngayon sa kaliwang tuktok ay mayroong "minus one", na angkop sa amin. Maaaring magsagawa ng karagdagang paggalaw ang sinumang gustong makakuha ng +1: i-multiply ang unang linya sa –1 (palitan ang sign nito).
(2) Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.
(3) Ang unang linya ay pinarami ng –1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat ito sa pangalawang lugar, upang sa pangalawang "hakbang" ay mayroon kaming kinakailangang yunit.
(4) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 2.
(5) Ang ikatlong linya ay hinati ng 3.
Ang isang masamang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas bihira, isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng tulad ng , sa ibaba, at, nang naaayon, 
, pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na masasabi natin na nagkaroon ng error sa mga elementarya na pagbabago.
Sinisingil namin ang kabaligtaran, sa disenyo ng mga halimbawa ay madalas nilang hindi muling isinusulat ang system mismo, ngunit ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang reverse stroke, ipinaaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba hanggang sa itaas. Oo, narito ang isang regalo:
Sagot: 
.
Halimbawa 4
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method 
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa aking solusyon.
Sa huling bahagi ay titingnan natin ang ilang mga tampok ng Gaussian algorithm. Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation ng system, halimbawa: 
Paano isulat nang tama ang pinalawig na matrix ng system? Napag-usapan ko na ang puntong ito sa klase. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa halip ng mga nawawalang variable: 
Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil ang unang hanay ay mayroon nang isang zero, at mayroong mas kaunting mga pagbabagong elementarya na gagawin.
Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang mayroong iba pang mga numero doon? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: 
.
Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming dalawa. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at ang isa ay dalawa at anim. At ang dalawa sa kaliwang itaas ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo: idagdag ang unang linya na pinarami ng –1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3. Sa ganitong paraan makukuha natin ang mga kinakailangang zero sa unang column.
O isa pang karaniwang halimbawa: 
. Narito ang tatlo sa pangalawang "hakbang" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati ng 3 nang walang natitira. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: idagdag ang pangalawang linya sa ikatlong linya, na pinarami ng -4, bilang isang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.
Ang pamamaraan ni Gauss ay pangkalahatan, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan upang malutas ang mga system gamit ang iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal sa unang pagkakataon - mayroon silang isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gaussian, dapat mong "ipasok ang iyong mga ngipin" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring magkaroon ng pagkalito at mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya tungkol dito.
Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana.... Samakatuwid, para sa lahat na gustong malutas nang mag-isa ang isang mas kumplikadong halimbawa:
Halimbawa 5
Lutasin ang isang sistema ng 4 na linear na equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method. 
Ang ganitong gawain ay hindi bihira sa pagsasanay. Sa tingin ko kahit na ang isang teapot na lubusang nag-aral sa page na ito ay mauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Talaga lahat ay pareho - mayroon lamang higit pang mga aksyon.
Ang mga kaso kapag ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon) o may walang katapusang maraming solusyon ay tinatalakay sa aralin Mga hindi tugmang system at system na may karaniwang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gaussian.
Nais kong tagumpay ka!
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 2:
Solusyon
:
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepwise form.
Ginawa ang mga pagbabago sa elementarya:
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.
Pansin!
Dito maaari kang matukso na ibawas ang una mula sa pangatlong linya. Tiklupin mo lang!
(2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa –1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na.
tala
, na sa mga "hakbang" kami ay nasiyahan hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa.
(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 5.
(4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa –1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.
Reverse:
Sagot
:
.
Halimbawa 4:
Solusyon
:
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:
Ginawa ang mga conversion: (1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang". (2) Ang unang linya na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang linya Ang unang linya na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong linya.
Sa pangalawang "hakbang" lahat ay lumalala , ang mga "kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –1. (4) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –3. Natanggap na ang kinakailangang item sa ikalawang hakbang. . (5) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 6. (6) Ang pangalawang linya ay pinarami ng –1, ang ikatlong linya ay hinati sa -83.
Reverse:
Sagot :
Halimbawa 5:
Solusyon
:
Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:
Ginawa ang mga conversion: (1) Napalitan na ang una at pangalawang linya. (2) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng –3. (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, pinarami ng 4. Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng –1. (4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa lugar ng ikatlong linya. (5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng –5.
Reverse:
Sagot :
Ngayon ay tinitingnan natin ang pamamaraang Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation. Maaari mong basahin ang tungkol sa kung ano ang mga system na ito sa nakaraang artikulo na nakatuon sa paglutas ng parehong mga SLAE gamit ang paraan ng Cramer. Ang pamamaraang Gauss ay hindi nangangailangan ng anumang tiyak na kaalaman, kailangan mo lamang ng pagkaasikaso at pagkakapare-pareho. Sa kabila ng katotohanan na, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang pagsasanay sa paaralan ay sapat upang mailapat ito, ang mga mag-aaral ay kadalasang nahihirapang makabisado ang pamamaraang ito. Sa artikulong ito susubukan naming bawasan ang mga ito sa wala!
M Pamamaraan ng Gaussian– ang pinaka-unibersal na paraan para sa paglutas ng mga SLAE (maliban sa napakalaking sistema). Hindi tulad ng napag-usapan kanina, ito ay angkop hindi lamang para sa mga system na may isang solong solusyon, kundi pati na rin para sa mga system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mayroong tatlong posibleng pagpipilian dito.
Kaya't mayroon tayong sistema (hayaan itong magkaroon ng isang solusyon) at lulutasin natin ito gamit ang Gaussian method. Paano ito gumagana?
Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto - pasulong at kabaligtaran.
Una, isulat natin ang pinalawig na matrix ng system. Upang gawin ito, magdagdag ng column ng mga libreng miyembro sa pangunahing matrix.
Ang buong diwa ng pamamaraang Gauss ay upang dalhin ang matrix na ito sa isang stepped (o, gaya ng sinasabi nila, triangular) na anyo sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago. Sa form na ito, dapat mayroong mga zero lamang sa ilalim (o sa itaas) ng pangunahing dayagonal ng matrix.
Ang magagawa mo:
Pagkatapos naming baguhin ang sistema sa ganitong paraan, hindi alam ang isa Xn nagiging kilala, at mahahanap mo ang lahat ng natitirang hindi alam sa reverse order, na pinapalitan ang mga kilalang x sa mga equation ng system, hanggang sa una.
Kapag ang Internet ay laging nasa kamay, maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang Gaussian method online. Kailangan mo lang ipasok ang mga coefficient sa online calculator. Ngunit dapat mong aminin, mas kaaya-aya na mapagtanto na ang halimbawa ay nalutas hindi ng isang programa sa computer, ngunit sa pamamagitan ng iyong sariling utak.
At ngayon - isang halimbawa upang ang lahat ay maging malinaw at nauunawaan. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear equation, at kailangan mong lutasin ito gamit ang Gauss method:
Una naming isulat ang pinalawig na matrix:
Ngayon gawin natin ang mga pagbabago. Naaalala namin na kailangan naming makamit ang isang tatsulok na anyo ng matrix. I-multiply natin ang 1st line sa (3). I-multiply ang 2nd line sa (-1). Idagdag ang 2nd line sa 1st at makuha ang:
Pagkatapos ay i-multiply ang ika-3 linya sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:
I-multiply natin ang 1st line sa (6). I-multiply natin ang 2nd line sa (13). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:
Voila - ang sistema ay dinadala sa naaangkop na anyo. Ito ay nananatiling hanapin ang mga hindi alam:
Ang sistema sa halimbawang ito ay may natatanging solusyon. Isasaalang-alang namin ang paglutas ng mga system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang hiwalay na artikulo. Marahil sa una ay hindi mo alam kung saan sisimulan ang mga pagbabagong-anyo ng matrix, ngunit pagkatapos ng naaangkop na pagsasanay ay makukuha mo ito at mabibiyak ang mga SLAE gamit ang Gaussian na pamamaraan tulad ng mga mani. At kung bigla kang makatagpo ng isang SLAE na lumalabas na masyadong matigas para ma-crack, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda! magagawa mo sa pamamagitan ng pag-iwan ng kahilingan sa Tanggapan ng Korespondensiya. Sama-sama nating lutasin ang anumang problema!
Hayaang magbigay ng isang sistema ng linear algebraic equation na kailangang lutasin (hanapin ang mga halaga ng mga hindi alam xi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).
Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:
1) Walang mga solusyon (maging hindi magkasanib).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng isang solong solusyon.
Tulad ng ating natatandaan, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na sa bawat kaso hahantong tayo sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana nang pareho sa lahat ng tatlong mga kaso. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon upang mailapat ang pamamaraang Gauss kailangan mo lamang ng kaalaman sa mga operasyon ng aritmetika, na ginagawang naa-access ito kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.
Augmented matrix transformations ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:
1) Sa troki matrice Pwede muling ayusin sa ilang lugar.
2) kung ang proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera ay lilitaw (o umiiral) sa matrix, dapat mong tanggalin Ang lahat ng mga row na ito ay mula sa matrix maliban sa isa.
3) kung ang isang zero na hilera ay lilitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, dapat din ito tanggalin.
4) isang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.
5) sa isang hilera ng matrix na magagawa mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.
Sa pamamaraang Gauss, ang mga pagbabagong elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation.
Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:
Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:
1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient para sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation tulad ng sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients ng mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient ng hindi kilalang x 1 sa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas namin ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients ng mga hindi alam at libreng termino). Para sa x 1 sa pangalawang equation ay nakukuha natin ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation hanggang sa lahat ng equation maliban sa una, para sa hindi kilalang x 1, ay may coefficient 0.
2) Lumipat tayo sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang koepisyent para sa x 2 na katumbas ng M. Nagpapatuloy kami sa lahat ng "mas mababang" equation tulad ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magkakaroon ng mga zero.
3) Lumipat sa susunod na equation at iba pa hanggang sa isang huling hindi alam at ang binagong libreng termino ay manatili.
Halimbawa.
Lutasin natin ang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method, gaya ng payo ng ilang may-akda:
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:
Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Dapat meron tayo doon. Ang problema ay walang mga yunit sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito:
1 hakbang
. Sa unang linya idinaragdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Ibig sabihin, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang hindi nagbago ang pangalawang linya.
Ngayon sa kaliwang tuktok ay mayroong "minus one", na angkop sa amin. Maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos ang sinumang gustong makakuha ng +1: i-multiply ang unang linya sa –1 (palitan ang sign nito).
Hakbang 2 . Ang unang linya, na pinarami ng 5, ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya, na pinarami ng 3, ay idinagdag sa ikatlong linya.
Hakbang 3 . Ang unang linya ay pinarami ng –1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat ito sa pangalawang lugar, upang sa pangalawang "hakbang" ay mayroon kaming kinakailangang yunit.
Hakbang 4 . Ang ikatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng 2.
Hakbang 5 . Ang ikatlong linya ay hinati ng 3.
Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 |23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkaroon ng error sa elementarya. mga pagbabagong-anyo.
Gawin natin ang kabaligtaran; sa disenyo ng mga halimbawa, ang sistema mismo ay madalas na hindi muling isinulat, ngunit ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba pataas. Sa halimbawang ito, ang resulta ay isang regalo:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, samakatuwid x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Sagot:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5, at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Ang pagpaparami ng pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
I-multiply ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa pangatlong equation, nakakakuha kami ng isang "stepped" na pinahabang matrix:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Kaya, dahil ang error na naipon sa panahon ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang x 3 = 0.96 o humigit-kumulang 1.
x 2 = 3 at x 1 = –1.
Sa pamamagitan ng paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.
Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isa ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficients.
Nais kong tagumpay ka! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor Dmitry Aystrakhanov.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
