Ang isang sistema ng mga linear equation ay isang unyon ng mga n linear equation, na ang bawat isa ay naglalaman ng mga variable ng k. Ito ay nakasulat nang ganito:
Maraming mga tao, unang nakatagpo ng mas mataas na algebra, nagkakamaling naniniwala na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang sumabay sa bilang ng mga variable. Sa school algebra, karaniwang nangyayari ito, ngunit para sa mas mataas na algebra na ito, sa pangkalahatan, ay hindi totoo.
Ang isang solusyon sa isang sistema ng mga equation ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (k 1, k 2, ..., k n), na isang solusyon sa bawat equation sa system, ibig sabihin kapag pinalitan sa equation na ito sa halip na mga variable x 1, x 2, ..., x n ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay sa bilang.
Alinsunod dito, upang malutas ang isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito o upang patunayan na ang set na ito ay walang laman. Dahil ang bilang ng mga equation at ang bilang ng mga hindi kilalang maaaring hindi magkasabay, tatlong mga kaso ang posible:
Ang isang variable x i ay tinatawag na pinapayagan kung kasama ito sa isang equation lamang ng system, at may isang coefficient 1. Sa madaling salita, sa natitirang mga equation ang koepisyent sa variable x i dapat na katumbas ng zero.
Kung sa bawat equation pumili kami ng isang pinapayagan na variable, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga pinapayagan na variable para sa buong system ng mga equation. Ang system mismo, na nakasulat sa form na ito, ay tatawaging pinahihintulutan din. Sa pangkalahatan, ang isa at ang parehong paunang sistema ay maaaring mabawasan sa iba't ibang pinapayagan, ngunit ngayon wala kaming pakialam. Narito ang mga halimbawa ng mga pinapayagan na system:
Pinapayagan ang parehong mga system na may paggalang sa mga variable x 1, x 3 at x 4. Gayunpaman, sa parehong tagumpay maaari itong maitalo na ang pangalawang sistema ay pinapayagan na may paggalang sa x 1, x 3, at x 5. Sapat na upang muling isulat ang pinakahuling equation bilang x 5 \u003d x 4.
Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso. Ipagpalagay na mayroon kaming mga k variable sa kabuuan, kung alin ang pinapayagan. Pagkatapos ay posible ang dalawang kaso:
Kaya, sa mga nabanggit na system, ang mga variable x 2, x 5, x 6 (para sa unang system) at x 2, x 5 (para sa pangalawa) ay libre. Ang kaso kapag may mga libreng variable ay pinakamahusay na binubuo bilang isang teorya:
Mangyaring tandaan: ito ay isang napakahalagang punto! Nakasalalay sa kung paano mo isusulat ang nagresultang system, ang parehong variable ay maaaring pahintulutan o libre. Karamihan sa mas mataas na mga tutor sa matematika ay inirerekumenda na isulat ang mga variable sa lexicographic order, ibig sabihin pataas na index. Gayunpaman, hindi mo na kailangang sundin ang payo na ito.
Teorama Kung sa isang system ng n equation ang mga variable x 1, x 2, ..., x r ay pinapayagan, at x r + 1, x r + 2, ..., x k ay libre, kung gayon:
- Kung itinakda namin ang mga halaga sa mga libreng variable (xr + 1 \u003d tr + 1, xr + 2 \u003d tr + 2, ..., xk \u003d tk) at pagkatapos ay hanapin ang mga halagang x 1, x 2, ..., xr, nakukuha natin ang isa sa mga solusyon
- Kung sa dalawang solusyon ang mga halaga ng mga libreng variable ay magkasabay, pagkatapos ang mga halaga ng pinapayagan na mga variable ay magkasabay din, ibig sabihin pantay ang mga solusyon.
Ano ang kahulugan ng teoryang ito? Upang makuha ang lahat ng mga solusyon sa nalutas na sistema ng mga equation, sapat na upang pumili ng mga libreng variable. Pagkatapos, pagtatalaga ng iba't ibang mga halaga sa mga libreng variable, makakakuha kami ng mga nakahandang solusyon. Iyon lang - sa ganitong paraan makakakuha ka ng lahat ng mga solusyon sa system. Walang ibang mga solusyon.
Konklusyon: ang nalutas na sistema ng mga equation ay laging pare-pareho. Kung ang bilang ng mga equation sa nalutas na system ay katumbas ng bilang ng mga variable, ang sistema ay magiging tiyak, kung mas mababa - walang katiyakan.
At ang lahat ay magiging maayos, ngunit ang tanong ay arises: kung paano makuha ang nalutas mula sa orihinal na sistema ng mga equation? Para sa mga ito mayroong
Patuloy kaming nakikipag-usap sa mga system ng mga linear equation. Sa ngayon, tiningnan ko ang mga system na may isang solong solusyon. Ang mga nasabing sistema ay maaaring malutas sa anumang paraan: paraan ng pagpapalit ("Paaralan"), sa pamamagitan ng mga formula ng Cramer, pamamaraan ng matrix, paraan ng Gaussian... Gayunpaman, sa pagsasagawa, dalawa pang mga kaso ang laganap:
- Ang system ay hindi tugma (walang mga solusyon);
- Ang sistema ay may walang katapusang maraming mga solusyon.
Para sa mga sistemang ito, ginagamit ang pinaka unibersal sa lahat ng mga pamamaraan ng solusyon - paraan ng Gauss... Sa katunayan, ang pamamaraang "paaralan" ay hahantong sa sagot, ngunit sa mas mataas na matematika kaugalian na gamitin ang Gaussian na pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilala. Sa mga hindi pamilyar sa algorithm ng pamamaraan ng Gauss, mangyaring pag-aralan muna ang aralin paraan ng Gaussian para sa dummies.
Ang mga elementarya na pagbabago ng matrix mismo ay eksaktong pareho, ang pagkakaiba ay magiging sa pagtatapos ng solusyon. Isaalang-alang muna natin ang isang pares ng mga halimbawa kung saan ang system ay walang mga solusyon (hindi naaayon).
Halimbawa 1
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation
Ano agad ang nakakakuha ng iyong mata sa sistemang ito? Ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable. Kung ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable, pagkatapos ay maaari nating sabihin kaagad na ang system ay alinman sa hindi tugma o may walang katapusang maraming mga solusyon. At nananatili lamang ito upang malaman.
Ang simula ng solusyon ay ganap na ordinaryong - isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga transformasyong elementarya, dinadala namin ito sa isang hakbang na form:
(1) Sa kaliwang tuktok na hakbang, kailangan naming makakuha ng +1 o –1. Walang mga naturang numero sa unang haligi, kaya't ang pag-aayos ng mga hilera ay walang gagawin. Ang yunit ay kailangang ayusin nang nakapag-iisa, at magagawa ito sa maraming paraan. Ginawa ko ito: Idagdag ang pangatlong linya na pinarami ng -1 sa unang linya.
(2) Ngayon nakakakuha kami ng dalawang mga zero sa unang haligi. Sa pangalawang linya idaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 3. Sa ikatlong linya idaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 5.
(3) Matapos ang ginawang pagbabago, laging ipinapayong makita kung posible na gawing simple ang mga nagresultang linya? Maaari Hatiin ang pangalawang hilera ng 2, nang sabay na makuha ang ninanais na –1 sa pangalawang hakbang. Hatiin ang ikatlong hilera sa pamamagitan ng –3.
(4) Idagdag ang pangalawang linya sa pangatlong linya.
Marahil ang lahat ay nagbigay pansin sa hindi magandang linya na naging resulta ng mga pagbabagong elementarya:. Ito ay malinaw na hindi ito maaaring maging gayon. Sa katunayan, muling isulat natin ang nagresultang matrix pabalik sa isang sistema ng mga linear equation:
Patuloy kaming nakikipag-usap sa mga system ng mga linear equation. Sa ngayon, tiningnan namin ang mga system na may isang solong solusyon. Ang mga nasabing sistema ay maaaring malutas sa anumang paraan: paraan ng pagpapalit("Paaralan"), sa pamamagitan ng mga formula ng Cramer, pamamaraan ng matrix, paraan ng Gaussian... Gayunpaman, sa pagsasagawa, dalawa pang mga kaso ang laganap kapag:
1) ang system ay hindi tugma (walang mga solusyon);
2) ang sistema ay may walang katapusang maraming mga solusyon.
Para sa mga sistemang ito, ginagamit ang pinaka unibersal sa lahat ng mga pamamaraan ng solusyon - paraan ng Gauss... Sa katunayan, ang pamamaraang "paaralan" ay hahantong sa sagot, ngunit sa mas mataas na matematika kaugalian na gamitin ang Gaussian na pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilala. Sa mga hindi pamilyar sa algorithm ng pamamaraan ng Gauss, mangyaring pag-aralan muna ang aralin paraan ng Gauss
Ang mga elementarya na pagbabago ng matrix mismo ay eksaktong pareho, ang pagkakaiba ay magiging sa pagtatapos ng solusyon. Isaalang-alang muna natin ang isang pares ng mga halimbawa kung saan ang system ay walang mga solusyon (hindi naaayon).
Halimbawa 1
Ano agad ang nakakakuha ng iyong mata sa sistemang ito? Ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable. Mayroong isang teorya na nagsasaad: "Kung ang bilang ng mga equation sa system ay mas mababa sa bilang ng mga variable, kung gayon ang system ay alinman sa hindi tugma o may walang katapusang maraming mga solusyon. " At nananatili lamang ito upang malaman.
Ang simula ng solusyon ay ganap na ordinaryong - isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga transformasyong elementarya, dinadala namin ito sa isang hakbang na form:
(1). Sa kaliwang tuktok na hakbang, kailangan naming makakuha ng (+1) o (–1). Walang mga naturang numero sa unang haligi, kaya't ang pag-aayos ng mga hilera ay walang gagawin. Ang yunit ay kailangang ayusin nang nakapag-iisa, at magagawa ito sa maraming paraan. Ginawa namin ito. Sa unang linya idagdag ang pangatlong linya na pinarami ng (–1).
(2). Nakakakuha kami ng dalawang mga zero sa unang haligi. Sa pangalawang linya idaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 3. Sa ikatlong linya idaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 5.
(3). Matapos ang ginawang pagbabago, laging ipinapayong makita kung posible na gawing simple ang mga nagresultang linya? Maaari Hatiin ang pangalawang hilera ng 2, nang sabay na makuha ang ninanais (–1) sa pangalawang hakbang. Hatiin ang ikatlong hilera sa pamamagitan ng (–3).
(4). Idagdag ang pangalawang linya sa pangatlong linya. Marahil ang lahat ay nakakuha ng pansin sa hindi magandang linya na naging resulta ng mga pagbabagong elementarya:
... Ito ay malinaw na hindi ito maaaring maging gayon.
Sa katunayan, muling isinusulat namin ang nagresultang matrix
bumalik sa system ng mga linear equation:
Kung, bilang isang resulta ng mga elementarya na pagbabago, isang string ng form kung saanλ - isang bilang maliban sa zero, kung gayon ang system ay hindi pantay-pantay (walang mga solusyon).
Paano ko maitatala ang pagtatapos ng isang takdang-aralin? Dapat mong isulat ang parirala:
"Bilang isang resulta ng mga pagbabago sa elementarya, isang string ng form ang nakuha, kung saan λ ≠ 0 ". Sagot: "Ang system ay walang mga solusyon (hindi naaayon)."
Mangyaring tandaan na sa kasong ito ay walang pag-backtrack ng Gaussian, walang mga solusyon at walang simpleng mahahanap.
Halimbawa 2
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation 
Ito ay isang halimbawa para sa isang solong solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.
Muli, pinapaalala namin sa iyo na ang iyong kurso sa pagpapasya ay maaaring magkakaiba sa aming kurso sa pagpapasya, ang pamamaraan ng Gauss ay hindi tumutukoy sa isang hindi malinaw na algorithm, kailangan mong hulaan ang tungkol sa pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos at ang mga pagkilos mismo sa bawat kaso nang nakapag-iisa.
Isa pang teknikal na tampok ng solusyon: maaaring ihinto ang mga pangunahing pagbabago sabay sabay, sa sandaling lumitaw ang isang linya ng form, kung saan λ ≠ 0 ... Isaalang-alang ang isang kondisyong halimbawa: ipagpalagay na pagkatapos ng unang pagbabago ay nakuha ang matrix
.
Ang matrix na ito ay hindi pa nabawasan sa isang stepped form, ngunit hindi na kailangan para sa karagdagang mga pagbabago sa elementarya, dahil lumitaw ang isang hilera ng form, kung saan λ ≠ 0 ... Dapat mong agad na sagutin na ang system ay hindi naaayon.
Kapag ang isang sistema ng mga linear equation ay walang mga solusyon, ito ay halos isang regalo sa mag-aaral, dahil ang isang maikling solusyon ay nakuha, kung minsan literal sa 2-3 mga hakbang. Ngunit ang lahat sa mundong ito ay balanse, at ang problema kung saan ang system ay may walang hanggan maraming mga solusyon ay mas matagal lamang.
Halimbawa 3:
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation
Mayroong 4 na mga equation at 4 na hindi alam, kaya ang system ay maaaring magkaroon ng alinman sa isang solong solusyon, o walang mga solusyon, o magkaroon ng maraming mga solusyon. Maging ganoon, ngunit ang pamamaraan ni Gauss ay hahantong sa atin sa sagot pa rin. Ito ang kagalingan ng maraming kaalaman.
Ang simula ay muling pamantayan. Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:
Iyon lang, at natakot ka.
(1). Mangyaring tandaan na ang lahat ng mga numero sa unang haligi ay nahahati sa pamamagitan ng 2, kaya't ang dalawa sa kaliwang itaas ay mainam. Idagdag sa pangalawang linya ang unang linya na pinarami ng (–4). Sa pangatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng (–2). Sa pang-apat na linya idagdag ang unang linya na pinarami ng (–1).
PansinMarami ang maaaring matukso mula sa ika-apat na linya ibawas unang linya. Magagawa ito, ngunit hindi kinakailangan, ipinapakita ng karanasan na ang posibilidad ng isang error sa mga kalkulasyon ay tumataas nang maraming beses. Idagdag lamang: sa pang-apat na linya, idagdag ang unang hilera na pinarami ng (–1) - sakto!
(2). Ang huling tatlong mga linya ay proporsyonal, dalawa sa mga ito ay maaaring tanggalin. Narito muli kailangan mong ipakita nadagdagan pansin, ngunit proporsyonal ba ang mga linya? Upang ma-ligtas ang panig, hindi ito magiging labis upang maparami ang pangalawang linya sa pamamagitan ng (–1), at hatiin ang ika-apat na linya ng 2, na magreresulta sa tatlong magkatulad na linya. At pagkatapos lamang tanggalin ang dalawa sa kanila. Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, ang pinalawak na matrix ng system ay nabawasan sa isang stepwise form:
Kapag pinupunan ang isang gawain sa isang kuwaderno, ipinapayong gawin ang parehong mga tala sa lapis para sa kalinawan.
Isulat ulit natin ang kaukulang sistema ng mga equation: 
Ang tanging solusyon ng system dito ay hindi amoy "dati". Isang masamang linya kung saan λ ≠ 0, hindi rin. Nangangahulugan ito na ito ang pangatlong natitirang kaso - ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon.
Ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa system ay maikling nakasulat sa anyo ng tinaguriang pangkalahatang solusyon ng system.
Nahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng system gamit ang reverse move ng Gauss na pamamaraan. Para sa mga system ng mga equation na may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon, lilitaw ang mga bagong konsepto: "Pangunahing mga variable" at "Libreng mga variable"... Una, tukuyin natin kung anong mga variable ang mayroon tayo batayan, at aling mga variable - libre... Hindi kinakailangan na ipaliwanag nang detalyado ang mga tuntunin ng linear algebra, sapat na upang matandaan na may mga tulad pangunahing mga variable at libreng mga variable.
Ang mga pangunahing variable ay palaging "umupo" nang mahigpit sa mga hakbang ng matrix... Sa halimbawang ito, ang pangunahing mga variable ay x 1 at x 3 .
Ang mga libreng variable ay lahat ang natitirang mga variable na hindi nakakuha ng anak. Sa aming kaso, mayroong dalawa sa kanila: x 2 at x 4 - mga libreng variable.
Ngayon kailangan mo lahatpangunahing mga variable upang ipahayag sa pamamagitan lamanglibreng mga variable... Tradisyonal na gumagana ang reverse ng Gaussian algorithm mula sa ibaba hanggang. Mula sa ikalawang equation ng system, ipinapahayag namin ang pangunahing variable x 3:
Tingnan natin ang unang equation: 
... Una, pinapalitan namin ang nahanap na expression dito:
Ito ay nananatiling upang ipahayag ang pangunahing variable x 1 sa pamamagitan ng mga libreng variable x 2 at x 4:
Sa huli, nakuha natin ang kailangan natin - lahat pangunahing mga variable ( x 1 at x 3) ipinahayag sa pamamagitan lamanglibreng mga variable ( x 2 at x 4):
Sa totoo lang, handa na ang pangkalahatang solusyon:
.
Paano isulat nang tama ang pangkalahatang solusyon? Una sa lahat, ang mga libreng variable ay nakasulat sa pangkalahatang solusyon na "sa kanilang sarili" at mahigpit sa kanilang mga lugar. Sa kasong ito, mga libreng variable x 2 at x 4 ay dapat na nakasulat sa pangalawa at pang-apat na posisyon:
.
Ang nakuha na mga expression para sa pangunahing mga variable at, malinaw naman, kailangan mong magsulat sa una at pangatlong posisyon:
Mula sa pangkalahatang solusyon ng system, mahahanap mo ang walang katapusang marami mga pribadong solusyon... Napakasimple nito. Libreng mga variable x 2 at x 4 ang tinawag kaya dahil maaari silang maibigay anumang mga halaga ng pagtatapos... Ang pinakatanyag na mga halaga ay zero, sapagkat ito ang pinakasimpleng solusyon sa partikular na solusyon.
Pagpapalit ( x 2 = 0; x 4 \u003d 0) sa pangkalahatang solusyon, nakukuha namin ang isa sa mga partikular na solusyon:
, o isang partikular na solusyon na tumutugma sa mga libreng variable sa mga halaga ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Ang mga yunit ay isa pang matamis na mag-asawa, kapalit ( x 2 \u003d 1 at x 4 \u003d 1) sa isang pangkalahatang solusyon:
, ibig sabihin (-1; 1; 1; 1) ay isa pang partikular na solusyon.
Madaling makita na mayroon ang system ng mga equation walang katapusang maraming mga solusyon, dahil maaari kaming magbigay ng mga libreng variable kahit ano halaga
Bawat isaang partikular na solusyon ay dapat masiyahan sa bawat isa equation ng system. Ito ang batayan para sa "mabilis" na pagsusuri ng kawastuhan ng solusyon. Dalhin, halimbawa, isang partikular na solusyon (-1; 1; 1; 1) at palitan ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng orihinal na system:
Dapat magkakasama ang lahat. At sa anumang partikular na desisyon na natanggap mo - dapat ding sumang-ayon ang lahat.
Mahigpit na pagsasalita, pag-check sa isang partikular na solusyon kung minsan ay daya, ibig sabihin ang ilang mga partikular na solusyon ay maaaring masiyahan ang bawat equation ng system, ngunit ang pangkalahatang solusyon mismo ay maling natagpuan. Samakatuwid, una sa lahat, ito ay mas masinsinang at maaasahan na suriin ang pangkalahatang solusyon.
Paano suriin ang nagresultang pangkalahatang solusyon 
?
Hindi ito mahirap, ngunit nangangailangan ng maraming pagbabago. Kailangan mong magpahayag batayan variable, sa kasong ito 
at, at palitan ang mga ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system.
Sa kaliwang bahagi ng unang equation ng system:
Ang kanang bahagi ng paunang unang equation ng system ay nakuha.
Sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation ng system:
Ang kanang bahagi ng orihinal na pangalawang equation ng system ay nakuha.
At karagdagang - sa kaliwang panig ng pangatlo at ikaapat na mga equation ng system. Mas matagal ang tseke na ito, ngunit ginagarantiyahan nito ang isang daang porsyento ng kawastuhan ng pangkalahatang solusyon. Bilang karagdagan, sa ilang mga gawain, tiyak na ang pag-verify ng pangkalahatang solusyon na kinakailangan.
Halimbawa 4:
Malutas ang system gamit ang Gaussian na pamamaraan. Humanap ng isang pangkalahatang solusyon at dalawang partikular. Suriin ang pangkalahatang solusyon.
Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Dito, sa pamamagitan ng paraan, muli ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang, na nangangahulugan na agad na malinaw na ang system ay magiging hindi tugma o may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon.
Halimbawa 5:
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation. Kung ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon, maghanap ng dalawang partikular na solusyon at suriin ang pangkalahatang solusyon
Desisyon: Isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang hakbang na form:
(1). Idagdag ang unang linya sa pangalawang linya. Sa pangatlong linya idaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 2. Sa ika-apat na linya idaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 3.
(2). Sa pangatlong linya, idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng (–5). Sa ikaapat na linya, idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng (–7).
(3). Ang pangatlo at ikaapat na linya ay pareho, tinatanggal namin ang isa sa mga ito. Narito ang kagandahang:
Ang mga pangunahing variable ay nakaupo sa mga anak, samakatuwid ang pangunahing mga variable.
Mayroon lamang isang libreng variable na hindi nakakakuha ng isang hakbang dito:.
(4). Baligtarin ang paglipat. Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng isang libreng variable:
Mula sa pangatlong equation:
Isaalang-alang ang pangalawang equation at palitan ang nahanap na expression dito:
, 
, ,
Isaalang-alang ang unang equation at palitan ang mga nahanap na expression at dito:
Kaya, ang pangkalahatang solusyon para sa isang libreng variable x 4:
Muli, paano ito naganap? Libreng variable x 4 ang nakaupo nang nag-iisa sa nararapat na ikaapat na lugar. Ang mga nagresultang expression para sa pangunahing mga variable ay nasa kanilang mga lugar din.
Suriin natin kaagad ang pangkalahatang solusyon.
Pinapalitan namin ang mga pangunahing variable ,, sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:
Ang katumbas na mga kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, sa gayon, ang tamang pangkalahatang solusyon ay matatagpuan.
Ngayon mula sa nahanap na karaniwang solusyon 
nakakakuha kami ng dalawang partikular na solusyon. Ang lahat ng mga variable ay ipinahayag dito sa pamamagitan ng isang solong libreng variable x 4. Hindi mo kailangang baliin ang iyong ulo.
Hayaan x 4 \u003d 0, kung gayon 
- ang unang partikular na solusyon.
Hayaan x 4 \u003d 1, kung gayon 
- isa pang partikular na solusyon.
Sagot: Karaniwang desisyon: ... Pribadong solusyon:
at.
Halimbawa 6:
Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga linear equation.
Nasuri na namin ang pangkalahatang desisyon, mapagkakatiwalaan ang sagot. Ang iyong kurso ng pagpapasya ay maaaring magkakaiba sa aming desisyon. Ang pangunahing bagay ay para magkatugma ang mga karaniwang desisyon. Marahil, marami ang napansin ang isang hindi kanais-nais na sandali sa mga solusyon: napakadalas sa panahon ng pabalik na kurso ng pamamaraan ng Gauss, kailangan naming kumilos sa mga ordinaryong praksiyon. Sa pagsasagawa, totoo ito, ang mga kaso kung walang mga praksiyon ay mas hindi gaanong karaniwan. Maging handa sa pag-iisip, at ang pinakamahalaga, sa teknikal.
Pag-isipan natin ang mga tampok ng solusyon na hindi natagpuan sa mga malulutas na halimbawa. Ang pangkalahatang solusyon ng system ay maaaring may kasamang isang pare-pareho (o mga pare-pareho).
Halimbawa, ang pangkalahatang solusyon ay: Narito ang isa sa mga pangunahing variable ay katumbas ng isang pare-pareho na numero:. Walang kakaiba sa ito, nangyayari ito. Malinaw na, sa kasong ito, ang anumang partikular na solusyon ay maglalaman ng A sa unang posisyon.
Bihirang, ngunit may mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga variable... Gayunpaman, ang pamamaraan ng Gauss ay gumagana sa ilalim ng pinakamahirap na kundisyon. Kinakailangan na mahinahon na bawasan ang pinalawak na matrix ng system sa isang stepped form alinsunod sa karaniwang algorithm. Ang nasabing sistema ay maaaring hindi magkatugma, maaari itong magkaroon ng walang katapusang maraming mga solusyon, at, nang kakatwa sapat, maaari itong magkaroon ng isang solong solusyon.
Ulitin natin ang aming payo - upang maging komportable ka sa paglutas ng isang system gamit ang Gauss na pamamaraan, dapat mong punan ang iyong kamay at malutas ang hindi bababa sa isang dosenang mga system.
Mga Solusyon at Sagot:
Halimbawa 2:
Desisyon:Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form.
Ginawa ang mga pagbabagong elementarya:
(1) Ang una at pangatlong linya ay baligtad.
(2) Ang unang linya na pinarami ng (–6) ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng (–7) ay idinagdag sa pangatlong linya.
(3) Ang pangalawang hilera ay idinagdag sa pangatlong hilera, pinarami ng (–1).
Bilang isang resulta ng mga elementarya na pagbabago, isang string ng form kung saan λ ≠ 0 . Nangangahulugan ito na ang system ay hindi tugma.Sagot: walang solusyon.
Halimbawa 4:
Desisyon:Isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:
Ginawa ang mga conversion:
(1). Ang unang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa pangatlong linya.
Walang sinuman para sa ikalawang hakbang , at pagbabago (2) ay naglalayong makuha ito.
(2). Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya na pinarami ng –3.
(3). Ang ikalawa at pangatlong linya ay napalitan (inilipat ang nagresultang -1 sa pangalawang hakbang)
(4). Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya na pinarami ng 3.
(lima). Ang palatandaan ng unang dalawang linya ay binago (pinarami ng –1), ang pangatlong linya ay hinati ng 14.
Baligtarin:
(1). Dito - pangunahing mga variable (na nasa mga hakbang), at - libreng mga variable (na hindi nakuha ang mga hakbang).
(2). Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable:
Mula sa pangatlong equation: .
(3). Isaalang-alang ang pangalawang equation: , partikular na mga solusyon:
Sagot: Karaniwang desisyon: 
Mga kumplikadong numero
Sa seksyong ito, malalaman natin ang konsepto kumplikadong numero, isaalang-alang algebraic, trigonometric at huwarang formkumplikadong numero. Malalaman din natin kung paano magsagawa ng mga pagpapatakbo na may mga kumplikadong numero: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagpapalawak at pagkuha ng ugat.
Upang makabisado ang mga kumplikadong numero, hindi mo kailangan ng anumang espesyal na kaalaman mula sa kurso ng mas mataas na matematika, at magagamit ang materyal kahit sa isang mag-aaral. Sapat na upang makapagsagawa ng mga pagpapatakbo ng algebraic na may "ordinaryong" mga numero, at matandaan ang trigonometry.
Una, tandaan natin ang "ordinaryong" Mga Numero. Sa matematika, tinawag sila hanay ng mga totoong numeroat tinukoy ng liham R,o R (makapal). Ang lahat ng totoong mga numero ay nakaupo sa pamilyar na linya ng numero:
Ang kumpanya ng mga totoong numero ay napaka-iba-iba - narito ang mga integer, praksiyon, at hindi makatuwirang mga numero. Sa kasong ito, ang bawat punto ng numerong axis ay kinakailangang tumutugma sa isang tiyak na tunay na numero.
Ang solusyon ng mga system ng linear algebraic equation (SLAE) ay walang alinlangan na pinakamahalagang paksa ng kurso sa linear algebra. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng mga sangay ng matematika ay nabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang mga salik na ito ay nagpapaliwanag ng dahilan para sa paglikha ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay napili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo
Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.
Una, binibigyan namin ang lahat ng kinakailangang kahulugan at konsepto at ipinakilala ang notasyon.
Susunod, isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga system ng mga linear na equation ng algebraic kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan mayroong isang natatanging solusyon. Una, magtutuon kami sa pamamaraan ng Cramer, pangalawa, magpapakita kami ng isang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin namin ang pamamaraan ng Gauss (ang pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable). Upang pagsamahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang maraming mga SLAE sa iba't ibang paraan.
Pagkatapos nito, bumabaling kami sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ng algebraic ng pangkalahatang form, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay degenerate. Bumalangkas tayo sa Kronecker - teatro ng Capelli, na nagbibigay-daan sa amin upang maitaguyod ang pagiging tugma ng mga SLAE. Pag-aralan natin ang solusyon ng mga system (kung magkatugma ang mga ito) gamit ang konsepto ng isang pangunahing menor de edad ng isang matrix. Isasaalang-alang din namin ang pamamaraan ng Gauss at ilalarawan nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa.
Tiyak na titira tayo sa istraktura ng pangkalahatang solusyon ng mga homogenous at hindi inhomogeneous na sistema ng mga linear na equation na algebraic. Bigyan natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano nakasulat ang pangkalahatang solusyon ng isang SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.
Sa pagtatapos, isasaalang-alang namin ang mga system ng mga equation na nagbabawas sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema, sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.
Pag-navigate sa pahina.
Isasaalang-alang namin ang mga system ng p linear algebraic equation na may mga hindi kilalang variable (p ay maaaring katumbas ng n) ng form
Hindi kilalang mga variable, - coefficients (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - libreng mga term (totoo rin o kumplikadong mga numero).
Ang form ng notasyong SLAE na ito ay tinawag makipag-ugnay.
SA form ng matrix ang system ng mga equation na ito ay mayroong form
Kung saan 
- ang pangunahing matrix ng system, - ang haligi ng matrix ng hindi kilalang mga variable, - ang haligi ng matrix ng mga libreng kasapi.
Kung idagdag namin sa matrix A bilang (n + 1) ika-haligi na haligi ng matrix ng mga libreng term, pagkatapos makukuha natin ang tinatawag na pinalawak na matrix mga sistema ng mga linear equation. Kadalasan, ang pinalawak na matrix ay tinukoy ng letrang T, at ang haligi ng mga libreng kasapi ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay, 
Sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na nagko-convert sa lahat ng mga equation ng system sa pagkakakilanlan. Ang equation ng matrix para sa mga naibigay na halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan din.
Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, pagkatapos ito ay tinatawag magkasabay.
Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, pagkatapos ito ay tinatawag na hindi pantay-pantay.
Kung ang SLAE ay may natatanging solusyon, tinawag ito tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, pagkatapos - hindi natukoy.
Kung ang mga libreng tuntunin ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero 
, pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi man - magkakaiba.
Kung ang bilang ng mga equation ng system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang tumutukoy ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga nasabing SLAE ay tatawaging elementarya... Ang mga nasabing sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous system, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.
Sinimulan naming pag-aralan ang mga naturang SLAE sa high school. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, ipinahayag ang isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi alam na variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang mga hindi kilalang variable. Hindi namin bibigyan ng pansin ang mga pamamaraang ito nang detalyado, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraan ng Gauss.
Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementarya na sistema ng mga linear equation ay ang Cramer na pamamaraan, ang matrix na pamamaraan at ang Gauss na pamamaraan. Pag-aralan natin ang mga ito.
Ipagpalagay kailangan nating malutas ang isang sistema ng mga linear na equation na algebraic 
kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang tumutukoy ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, iyon ay,.
Hayaan ang tagapasiya ng pangunahing matrix ng system, at 
- mga tumutukoy sa matrices, na nakuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit Ika-1, ika-2, ..., nth haligi, ayon sa pagkakabanggit, sa haligi ng mga libreng kasapi: 
Sa notasyong ito, ang mga hindi kilalang variable ay kinakalkula ng mga formula ng pamamaraan ng Cramer bilang 
... Ito ay kung paano ang solusyon ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay matatagpuan sa pamamaraang Cramer.
Halimbawa.
Paraan ng Cramer 
.
Desisyon.
Ang pangunahing matrix ng system ay may form 
... Kalkulahin natin ang tumutukoy (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Dahil ang tumutukoy ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang system ay may isang natatanging solusyon na maaaring matagpuan sa pamamaraang Cramer.
Bumuo tayo at kalkulahin ang mga kinakailangang tumutukoy 
(ang tumutukoy ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng unang haligi sa matrix A ng isang haligi ng mga libreng kasapi, ang tumutukoy - sa pamamagitan ng pagpapalit ng pangalawang haligi ng isang haligi ng mga libreng kasapi, - sa pamamagitan ng pagpapalit ng pangatlong haligi ng matrix A na may isang haligi ng mga libreng kasapi): 
Maghanap ng mga hindi kilalang variable ng mga formula 
:
Sagot:
Ang pangunahing sagabal ng pamamaraan ng Cramer (kung maaari itong tawaging isang sagabal) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga tumutukoy kapag ang bilang ng mga equation sa system ay higit sa tatlo.
Hayaan ang system ng mga linear na equation equation na ibibigay sa matrix form, kung saan ang matrix A ay may dimensyon n sa pamamagitan ng n at ang tumutukoy nito ay nonzero.
Dahil, ang matrix A ay hindi maibalik, iyon ay, mayroong isang kabaligtaran na matrix. Kung pinarami namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng kaliwa, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang formula para sa paghahanap ng haliging matrix ng hindi kilalang mga variable. Nakuha namin ang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation ng algebraic ng pamamaraan ng matrix.
Halimbawa.
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation pamamaraan ng matrix.
Desisyon.
Isulat muli ang sistema ng mga equation sa form ng matrix: 
Bilang
pagkatapos ang SLAE ay maaaring malutas ng pamamaraan ng matrix. Gamit ang kabaligtaran matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang 
.
Bumuo tayo ng isang kabaligtaran na matrix gamit ang isang matrix ng algebraic na mga pandagdag ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Ito ay nananatili upang makalkula - ang matrix ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng kabaligtaran na matrix 
sa isang matrix ng haligi ng mga libreng kasapi (tingnan ang artikulo kung kinakailangan): 
Sagot:
o sa ibang notasyon x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Ang pangunahing problema sa paghanap ng mga solusyon sa mga system ng linear algebraic equation ng pamamaraan ng matrix ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng kabaligtaran na matrix, lalo na para sa mga parisukat na matris ng order na mas mataas kaysa sa pangatlo.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng isang solusyon sa isang sistema ng mga n linear equation na may mga hindi kilalang variable 
ang tumutukoy ng pangunahing matrix na kung saan ay nonzero.
Ang kakanyahan ng pamamaraan ng Gauss binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable: una, ang x 1 ay hindi kasama mula sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos ay ang x 2 ay naibukod mula sa lahat ng mga equation, nagsisimula sa pangatlo, at iba pa, hanggang sa ang hindi kilalang variable x n mananatili sa huling equation. Ang ganitong proseso ng pagbabago ng mga equation ng system para sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay tinawag sa pamamagitan ng direktang kurso ng pamamaraan ng Gauss... Matapos makumpleto ang pasulong na pagpapatakbo ng pamamaraan ng Gauss, ang x n ay matatagpuan mula sa huling equation, gamit ang halagang ito, ang x n-1 ay kinakalkula mula sa penultimate equation, at iba pa, ang x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng hindi kilalang mga variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system patungo sa una ay tinawag paatras na pamamaraan ng Gaussian.
Maikli naming ilarawan ang algorithm para sa pag-aalis ng hindi kilalang mga variable.
Ipagpalagay namin iyon, dahil palagi naming makakamit ito sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga equation ng system. Tanggalin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system idinagdag namin ang una, pinarami ng, sa pangatlong equation idinagdag namin ang una, pinarami ng, at iba pa, sa n-th equation idinagdag namin ang una, pinarami ng. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kumukuha ng form 
saan, at 
.
Darating kami sa parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang nagresultang ekspresyon sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable x 1 ay hindi kasama mula sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.
Susunod, kumikilos kami sa isang katulad na paraan, ngunit may bahagi lamang sa nagresultang system, na minarkahan sa pigura 
Para sa mga ito, sa pangatlong equation ng system idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng, sa ika-apat na equation idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng, at iba pa, sa n-th equation idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kumukuha ng form 
saan, at 
... Kaya, ang variable x 2 ay hindi kasama mula sa lahat ng mga equation, simula sa pangatlo.
Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami ng katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa pigura 
Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraan ng Gauss hanggang sa makuha ng system ang form 
Mula sa sandaling ito sinisimulan namin ang pabalik na kurso ng pamamaraan ng Gauss: kinakalkula namin ang x n mula sa huling equation bilang, gamit ang nakuha na halaga ng x n, nakita namin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nakita namin ang x 1 mula sa unang equation.
Halimbawa.
Malutas ang isang sistema ng mga linear equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss.
Desisyon.
Tanggalin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang magawa ito, idagdag sa magkabilang bahagi ng pangalawa at pangatlong equation ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit: 
Ngayon ay ibinubukod namin ang x 2 mula sa pangatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito sa kaliwa at kanang bahagi ng ikalawang equation, pinarami ng: 
Nakumpleto nito ang pasulong na pagpapatakbo ng pamamaraan ng Gauss, sinisimulan namin ang pabalik na paglipat.
Mula sa huling equation ng nagresultang system ng mga equation, nakita namin ang x 3: 
Mula sa ikalawang equation na nakukuha natin.
Mula sa unang equation nahanap namin ang natitirang hindi kilalang variable at nakumpleto nito ang reverse course ng Gaussian na pamamaraan.
Sagot:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Sa pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga equation sa system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:
Ang mga nasabing SLAE ay maaaring walang mga solusyon, magkaroon ng iisang solusyon, o mayroong walang hanggan mga solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga system ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at degenerate.
Bago maghanap ng isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation, kinakailangan upang maitaguyod ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung ang SLAE ay tugma at kung hindi ito tugma ay ibinibigay ng kronecker - Capelli theorem:
para sa isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n) upang maging pare-pareho, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay, Ranggo (A) \u003d Ranggo (T).
Isaalang-alang natin sa pamamagitan ng halimbawa ang application ng Kronecker - Capelli theorem upang matukoy ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga linear equation.
Halimbawa.
Alamin kung ang sistema ng mga linear equation 
mga solusyon
Desisyon.
... Gamitin natin ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Minor ng pangalawang order 
nonzero Pag-uri-uriin natin ang mga third-order na menor de edad na hangganan nito: 
Dahil ang lahat ng hangganan ng mga menor de edad ng pangatlong order ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay dalawa.
Sa turn, ang ranggo ng pinalawig na matrix 
ay katumbas ng tatlo, mula pa sa third-order menor de edad 
nonzero
Kaya, Ang Rang (A), samakatuwid, ng Kronecker - teatro ng Capelli, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear equation ay hindi naaayon.
Sagot:
Walang solusyon ang system.
Kaya, natutunan namin kung paano maitaguyod ang hindi pagkakapare-pareho ng system gamit ang Kronecker - Capelli theorem.
Ngunit paano makahanap ng isang solusyon sa isang SLAE kung ang pagkakatugma nito ay naitaguyod?
Para sa mga ito kailangan namin ang paniwala ng isang pangunahing menor de edad ng isang matrix at isang teorama sa ranggo ng isang matrix.
Ang pinakamataas na order na menor de edad ng matrix A, maliban sa zero, ay tinawag batayan.
Sinusundan ito mula sa kahulugan ng isang pangunahing menor de edad na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matrix. Para sa isang nonzero matrix A, maaaring mayroong maraming pangunahing mga menor de edad; palaging may isang pangunahing menor de edad.
Halimbawa, isaalang-alang ang matrix 
.
Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng pangatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga kaukulang elemento ng una at pangalawang mga hilera.
Ang mga sumusunod na pangalawang-order na menor de edad ay pangunahing, dahil sila ay nonzero 
Mga menor de edad 
ay hindi pangunahing, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.
Teorya ng ranggo ng Matrix.
Kung ang ranggo ng isang matrix ng pagkakasunud-sunod p sa pamamagitan ng n ay katumbas ng r, pagkatapos ang lahat ng mga elemento ng mga hilera (at mga haligi) ng matrix na hindi bumubuo ng napiling pangunahing menor de edad ay linearly ipinahayag sa mga tuntunin ng kaukulang elemento ng mga hilera (at mga haligi) na bumubuo ng pangunahing menor de edad.
Ano ang ibinibigay sa amin ng teorya ng ranggo ng matrix?
Kung, sa pamamagitan ng Kronecker - teatro ng Capelli, naitaguyod namin ang pagiging tugma ng system, pagkatapos ay pipiliin namin ang anumang pangunahing menor de edad ng pangunahing matrix ng system (ang order nito ay r), at ibinubukod namin mula sa system ang lahat ng mga equation na hindi bumubuo ng napiling pangunahing menor de edad. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang itinapon na mga equation ay labis pa rin (ayon sa teorama ng ranggo ng matrix, ang mga ito ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).
Bilang isang resulta, pagkatapos itapon ang hindi kinakailangang mga equation ng system, posible ang dalawang kaso.
Kung ang bilang ng mga equation r sa nagresultang system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ito ay tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamaraan ng Cramer, matrix na pamamaraan o Gauss's na pamamaraan.
Halimbawa.
.
Desisyon.
Ang ranggo ng pangunahing matrix ng system 
ay katumbas ng dalawa, dahil ang pangalawang order na menor de edad 
nonzero Pinalawak na Ranggo ng Matrix 
ay katumbas din ng dalawa, dahil ang nag-iisa lamang sa pangatlong order ay zero 
at ang pangalawang order na menor de edad na isinasaalang-alang sa itaas ay nonzero. Batay sa Kronecker - teatro ng Capelli, maaari naming igiit ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear equation, dahil ang Ranggo (A) \u003d Ranggo (T) \u003d 2.
Kinukuha namin bilang pangunahing menor de edad ... Nabuo ito ng mga coefficients ng una at ikalawang equation: 
Ang pangatlong equation ng system ay hindi lumahok sa pagbuo ng pangunahing menor de edad, samakatuwid, ibinubukod namin ito mula sa system batay sa theorem sa ranggo ng matrix: 
Nakuha namin ang isang elementarya na sistema ng mga linear na equation ng algebraic. Solusyunan natin ito gamit ang pamamaraan ng Cramer: 
Sagot:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Kung ang bilang ng mga equation r sa nakuha na SLAE ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation naiwan namin ang mga term na bumubuo ng pangunahing menor de edad, ang natitirang mga termino ay inililipat sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na pag-sign.
Ang mga hindi kilalang variable (mayroong r sa kanila) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinawag major.
Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r na piraso) na lilitaw sa kanang bahagi ay tinawag libre.
Ngayon ipinapalagay namin na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring tumagal ng di-makatwirang mga halaga, at ang mga pangunahing hindi kilalang variable ay ipapahayag sa mga tuntunin ng libreng hindi kilalang mga variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang ekspresyon ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nakuha na SLAE ng pamamaraang Cramer, pamamaraan ng matrix, o pamamaraan ng Gauss.
Kumuha tayo ng isang halimbawa.
Halimbawa.
Malutas ang isang sistema ng mga linear na equation equation 
.
Desisyon.
Hanapin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system 
sa pamamagitan ng pamamaraang hangganan ng mga menor de edad. Kumuha kami ng isang 1 1 \u003d 1 bilang isang nonzero first-order menor de edad. Magsimula tayong maghanap para sa isang nonzero pangalawang order na menor de edad na pumapaligid sa menor de edad na ito: 
Ganito namin nahanap ang isang nonzero pangalawang-order na menor de edad. Magsimula tayong maghanap para sa isang third-order na nonzero na hangganan sa menor de edad: 
Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ay tatlo rin, ibig sabihin, ang sistema ay pare-pareho.
Kinukuha namin ang nahanap na nonzero third-order menor de edad bilang pangunahing isa.
Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo ng pangunahing menor de edad: 
Iniwan namin sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ang mga term na sumasali sa pangunahing menor de edad, ilipat ang natitira na may kabaligtaran na mga palatandaan sa mga kanang bahagi: 
Magtalaga tayo ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng hindi kilalang variable x 2 at x 5, iyon ay, kinukuha namin 
, nasaan ang mga di-makatwirang mga numero. Sa kasong ito, kukuha ng SLAE ang form 
Ang nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation ng algebra ay nalulutas ng pamamaraan ni Cramer: 
Samakatuwid,.
Huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable sa iyong sagot.
Sagot:
Nasaan ang mga di-makatwirang numero.
Ibuod.
Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ng algebraic ng pangkalahatang anyo, unang nalaman namin ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker - Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay tapusin namin na ang system ay hindi tugma.
Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pipiliin namin ang pangunahing menor de edad at itapon ang mga equation ng system na hindi lumahok sa pagbuo ng napiling pangunahing menor de edad.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing menor de edad ay katumbas ng bilang ng hindi kilalang mga variable, kung gayon ang SLAE ay may isang natatanging solusyon, na nakita namin ng anumang kilalang pamamaraan.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing menor de edad ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang mga variable, pagkatapos sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino sa mga pangunahing hindi kilalang variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at bigyan ang mga di-makatwirang halaga sa libreng hindi alam na mga variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation, nakita namin ang pangunahing hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pamamaraang Cramer, ang pamamaraan ng matrix o ang pamamaraan ng Gauss.
Maaaring magamit ang pamamaraang Gauss upang malutas ang mga system ng mga linear na equation ng algebraic ng anumang uri nang hindi muna sinusuri ang mga ito para sa pagiging tugma. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay ginagawang posible upang tapusin ang parehong pagiging tugma at hindi pagkakatugma ng SLAE, at kung mayroon ang isang solusyon, ginagawang posible itong hanapin.
Mula sa pananaw ng gawaing computational, mas gusto ang pamamaraang Gaussian.
Tingnan ang detalyadong paglalarawan nito at tinalakay na mga halimbawa sa artikulong pamamaraan ng Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ng algebraic ng pangkalahatang porma.
Sa seksyong ito, magtutuon kami sa mga katugmang homogenous at inhomogeneous system ng mga linear na equation ng algebraic na may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon.
Makipag-usap muna tayo sa mga homogenous system.
Isang pangunahing sistema ng pagpapasya Ang isang homogenous system ng p linear algebraic equation na may mga hindi kilalang variable ay tinatawag na set (n - r) ng mga linearly independyenteng solusyon ng sistemang ito, kung saan ang r ay ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing menor de edad ng pangunahing matrix ng system.
Kung isinasaad namin ang mga linearly independiyenteng solusyon ng isang homogenous SLAE bilang X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) ay mga n-by-1 na mga matrice ng haligi) , pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous system na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kombinasyon ng mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may di-makatwirang pare-pareho na mga coefficients С1, 2, ..., С (nr), iyon ay,.
Ano ang ibig sabihin ng term na pangkalahatang solusyon ng isang homogenous system ng mga linear algebraic equation (oroslau)?
Ang kahulugan ay simple: tinutukoy ng formula ang lahat ng mga posibleng solusyon ng orihinal na SLAE, sa madaling salita, pagkuha ng anumang hanay ng mga halaga ng di-makatwirang mga Constant С1, 12, ..., С (n-r), ayon sa pormula nakukuha namin ang isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous SLAE.
Kung gayon, kung makahanap kami ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari naming tukuyin ang lahat ng mga solusyon ng homogenous na SLAE na ito.
Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous SLAE.
Pinipili namin ang base menor de edad ng orihinal na sistema ng mga linear equation, ibinubukod ang lahat ng iba pang mga equation mula sa system, at inililipat sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na mga palatandaan lahat ng mga term na naglalaman ng mga hindi kilalang variable. Bigyan natin ang libreng hindi kilalang mga variable na halagang 1,0,0, ..., 0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear equation sa anumang paraan, halimbawa, sa pamamaraang Cramer. Bibigyan nito ang X (1) - ang unang solusyon sa pangunahing sistema. Kung ibibigay namin ang mga libreng hindi alam ang mga halagang 0,1,0,0, ..., 0 at kalkulahin ang pangunahing mga hindi alam, makakakuha kami ng X (2). Atbp Kung ibibigay natin ang mga halagang 0.0, ..., 0.1 sa mga libreng hindi kilalang variable at kalkulahin ang pangunahing mga hindi alam, makakakuha kami ng X (n-r). Ito ay kung paano ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng isang homogenous SLAE ay maitatayo at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring nakasulat sa form.
Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan sa form, kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system, at ang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous SLAE, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbibigay sa mga libreng hindi alam ang mga halagang 0,0, ..., 0 at kinakalkula ang mga halaga ng pangunahing hindi alam.
Tingnan natin ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous system ng mga linear na equation ng algebraic 
.
Desisyon.
Ang ranggo ng pangunahing matrix ng homogenous system ng mga linear equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hahanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix sa pamamagitan ng pamamaraan ng hangganan ng mga menor de edad. Bilang isang nonzero unang order menor de edad, kinukuha namin ang elemento ng 1 1 \u003d 9 ng pangunahing matrix ng system. Maghanap ng isang walang hanggan sa pangalawang-order na menor de edad: 
Isang nonzero pangalawang-order menor de edad ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na hangganan nito sa paghahanap ng isang hindi zero: 
Ang lahat ng mga hangganan ng menor de edad ng pangatlong order ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng pangunahing at pinalawig na mga matris ay katumbas ng dalawa. Kunin bilang isang pangunahing menor de edad. Tandaan natin para sa kalinawan ang mga elemento ng system na bumubuo nito: 
Ang pangatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi lumahok sa pagbuo ng pangunahing menor de edad, samakatuwid, maaari itong ibukod: 
Iniwan namin sa kanang bahagi ng mga equation ang mga term na naglalaman ng pangunahing hindi alam, at sa kanang bahagi ay inililipat namin ang mga term na may libreng hindi alam:
Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na magkakatulad na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang mga solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang mga variable, at ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing menor de edad na ito ay dalawa. Upang makahanap ng X (1), nagtatalaga kami ng mga libreng hindi kilalang variable na mga halagang x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, pagkatapos ay mahahanap namin ang pangunahing hindi alam mula sa system ng mga equation 
.
§1. Mga system ng mga linear equation.
Tingnan ang system
tinawag na system m mga linear equation na may n hindi alam
Dito 
- hindi alam, 
- mga coefficients para sa hindi kilalang, 
- libreng mga tuntunin ng mga equation.
Kung ang lahat ng mga libreng tuntunin ng mga equation ay katumbas ng zero, ang system ay tinatawag homogenous.
Desisyon ang sistema ay tinatawag na isang hanay ng mga numero 
, kapag pinalitan sa system sa halip na hindi kilala, ang lahat ng mga equation ay nagiging pagkakakilanlan. Tinawag ang system magkasabaykung mayroon man lang kahit isang solusyon. Ang isang magkasanib na system na may isang solong solusyon ay tinatawag tiyak... Ang dalawang sistema ay tinawag katumbaskung magkatugma ang mga hanay ng kanilang mga solusyon.
Ang system (1) ay maaaring kinatawan sa form ng matrix gamit ang equation
(2)
.
§2. Pagkakatugma ng mga system ng mga linear equation.
Ang pinalawig na matrix ng system (1) ay tinatawag na matrix
Ang Kronecker - teorama ni Capelli... Ang system (1) ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix:
.
§3. Solusyon ng systemn mga linear equation na mayn hindi alam
Isaalang-alang ang isang hindi nakakainis na sistema n mga linear equation na may n hindi alam:
(3)
Teorama ni Cramer.Kung ang pangunahing tumutukoy ng system (3) 
, pagkatapos ang system ay may natatanging solusyon na tinutukoy ng mga formula:
mga yan 
,
kung saan 
- Natukoy ang determinant mula sa determinant 
kapalit 
ika haligi bawat haligi ng libreng kasapi.
Kung ang 
, at kahit isa sa 
≠ 0, kung gayon ang system ay walang mga solusyon.
Kung ang 
, kung gayon ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon.
Maaaring malutas ang system (3) gamit ang nota ng matrix (2). Kung ang ranggo ng matrix AT ay pantay n, ibig sabihin 
, pagkatapos ang matrix AT may kabaligtaran 
... Sa pamamagitan ng pagpaparami ng equation ng matrix 
sa matrix 
sa kaliwa, nakukuha natin ang:
.
Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang isang kabaligtaran na matrix.
Halimbawa.Malutas ang system ng mga equation gamit ang inverse matrix.
Desisyon.
Matrix 
hindi nabubulok, mula pa 
, kaya mayroong isang kabaligtaran na matrix. Kalkulahin natin ang kabaligtaran na matrix: 
.
,
Ang gawain... Malutas ang system sa pamamagitan ng pamamaraan ng Cramer.
§4. Paglutas ng di-makatwirang mga sistema ng mga linear equation.
Hayaan ang isang hindi nakakainis na sistema ng mga linear equation ng form (1) na ibigay.
Ipagpalagay na ang system ay katugma, ibig sabihin ang kundisyon ng Kronecker-Capelli theorem ay nasiyahan: 
... Kung ang ranggo ng matrix 
(ang bilang ng mga hindi alam), pagkatapos ang system ay may isang natatanging solusyon. Kung ang 
, kung gayon ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon. Ipaliwanag natin.
Hayaan ang ranggo ng matrix r(A)=
r<
n... Sa abot ng 
, pagkatapos ay mayroong ilang mga hindi menor de edad na order r... Tawagin natin itong pangunahing menor de edad. Ang mga hindi kilalang, ang mga coefficients na bumubuo ng isang pangunahing menor de edad, ay tatawaging mga pangunahing variable. Ang natitirang mga hindi alam ay tatawaging mga libreng variable. Muling ayusin natin ang mga equation at muling ibilang ang mga variable upang ang menor de edad na ito ay matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok ng system matrix:
.
Ang una r ang mga hilera ay linear na nakapag-iisa, ang natitira ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito. Samakatuwid, ang mga linyang ito (mga equation) ay maaaring itapon. Nakukuha namin:
Bigyan natin ang di-makatwirang mga halagang bilang sa mga libreng variable:. Iiwan lamang namin ang mga pangunahing variable sa kaliwang bahagi, at ilipat ang mga libre sa kanang bahagi.
Nakuha ang system r mga linear equation na may r hindi alam, ang tumutukoy kung saan ay naiiba mula sa 0. Mayroon itong natatanging solusyon.
Ang sistemang ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear equation (1). Kung hindi man: ang pagpapahayag ng mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga malaya ay tinawag karaniwang pasya mga system Mula dito maaari kang makakuha ng isang walang katapusang hanay mga pribadong solusyon, na nagbibigay ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng variable. Ang isang partikular na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable ay tinawag pangunahing desisyon... Ang bilang ng iba't ibang mga pangunahing solusyon ay hindi lalampas 
... Ang isang pangunahing solusyon na may mga hindi negatibong sangkap ay tinawag sumusuporta solusyon sa system.
Halimbawa.
,
r=2.
Mga variable 
- pangunahing, 
- libre.
Idagdag natin ang mga equation; ipahayag 
sa pamamagitan ng 
:
- karaniwang pasya.
- partikular na solusyon para sa 
.
- pangunahing solusyon, sanggunian.
§ limang Paraan ng Gauss.
Ang pamamaraan ni Gauss ay isang pandaigdigang pamamaraan para sa pag-aaral at paglutas ng di-makatwirang mga sistema ng mga linear equation. Binubuo ito sa pagdadala ng system sa isang dayagonal (o tatsulok) na form sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilala gamit ang mga elementarya na pagbabago na hindi lumalabag sa pagkakapareho ng mga system. Ang isang variable ay itinuturing na hindi kasama kung nilalaman ito sa isang equation lamang ng system na may isang coefficient na 1.
Pagbabago ng elementarya ang mga sistema ay:
Pagpaparami ng isang equation ng isang bilang maliban sa zero;
Ang pagdaragdag ng isang equation na pinarami ng anumang bilang na may isa pang equation;
Pagsasaayos ng mga equation;
Pag-drop sa equation na 0 \u003d 0.
Ang mga transformation ng elementarya ay maaaring isagawa hindi sa mga equation, ngunit sa paglipas ng pinalawig na mga matris ng nagresultang katumbas na mga system.
Halimbawa.
Desisyon. Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system:
.
Pagsasagawa ng mga elementarya na pagbabago, dadalhin namin ang kaliwang bahagi ng matrix sa form ng yunit: sa pangunahing dayagonal, lilikha kami ng mga yunit, at sa labas nito - mga zero.
Magkomento... Kung, kapag gumaganap ng mga elementarya na pagbabago, isang equation ng form 0 \u003d sa(Kung saan sa
0),
pagkatapos ay hindi pantay ang system.
Ang solusyon ng mga sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang maaaring gawing pormal sa form mga mesa.
Ang kaliwang haligi ng talahanayan ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa mga ibinukod (pangunahing) variable. Ang natitirang mga haligi ay naglalaman ng mga coefficients ng hindi alam at libreng mga tuntunin ng mga equation.
Ang pinalawig na system matrix ay nakasulat sa orihinal na talahanayan. Susunod, nagsimula silang gumanap ng mga pagbabago sa Jordan:
1. Pumili ng variable 
na magiging baseline. Ang katumbas na haligi ay tinatawag na pangunahing haligi. Napili ang isang equation kung saan nananatili ang variable na ito, na ibinukod mula sa iba pang mga equation. Ang kaukulang hilera sa talahanayan ay tinatawag na key row. Coefficient 
, na nakatayo sa intersection ng isang key row at isang key column, ay tinatawag na isang key.
2. Ang mga elemento ng pangunahing linya ay nahahati sa pangunahing elemento.
3. Ang pangunahing haligi ay puno ng mga zero.
4. Ang natitirang mga elemento ay kinakalkula ayon sa patakaran ng rektanggulo. Gumawa ng isang rektanggulo na may pangunahing elemento at muling kinakalkula ang elemento sa mga kabaligtaran na verte; ang produkto ng mga elemento ng iba pang dayagonal ay binabawas mula sa produkto ng mga elemento sa dayagonal ng rektanggulo na may pangunahing elemento, at ang nagresultang pagkakaiba ay nahahati sa pangunahing elemento.
Halimbawa. Hanapin ang pangkalahatang solusyon at ang pangunahing solusyon sa system ng mga equation:
Desisyon.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
Pangkalahatang solusyon sa system:
Pangunahing solusyon: 
.
Ang paglipat mula sa isang batayan ng system patungo sa isa pa ay nagbibigay-daan sa pagbabago ng isang solong kahalili: sa halip na isa sa mga pangunahing variable, ang isa sa mga libreng variable ay ipinakilala sa batayan. Para sa mga ito, isang mahalagang elemento ang napili sa haligi ng isang libreng variable at ang mga pagbabago ay ginaganap ayon sa algorithm sa itaas.
§6. Paghanap ng mga solusyon sa suporta
Ang isang pangunahing solusyon ng isang sistema ng mga linear equation ay isang pangunahing solusyon na hindi naglalaman ng mga negatibong sangkap.
Ang mga solusyon sa suporta ng system ay matatagpuan ng pamamaraan ng Gauss sa ilalim ng mga sumusunod na kundisyon.
1. Sa orihinal na sistema, ang lahat ng mga libreng termino ay dapat na hindi negatibo: 
.
2. Ang pangunahing elemento ay pinili sa mga positibong coefficients.
3. Kung maraming mga positibong koepisyent para sa variable na ipinakilala sa batayan, pagkatapos ang pangunahing hilera ay kinuha ng isa kung saan ang ratio ng libreng term sa positibong koepisyent ay ang pinakamaliit.
Pangungusap 1... Kung, sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, lumilitaw ang isang equation kung saan ang lahat ng mga koepisyent ay hindi positibo, at ang libreng term 
, kung gayon ang system ay walang mga hindi negatibong solusyon.
Pangungusap 2... Kung walang mga positibong elemento sa mga haligi ng mga coefficients para sa mga libreng variable, kung gayon imposible ang paglipat sa isa pang solusyon sa sanggunian.
Halimbawa.
|
|
|
|
