Konsepto ng pyramid
Kahulugan 1
Geometric na pigura, na nabuo sa pamamagitan ng isang polygon at isang punto na hindi nakahiga sa eroplanong naglalaman ng polygon na ito, na konektado sa lahat ng mga vertices ng polygon ay tinatawag na isang pyramid (Fig. 1).
Ang polygon kung saan ginawa ang pyramid ay tinatawag na base ng pyramid, ang mga resultang triangles, kapag konektado sa isang punto, ay ang mga gilid na mukha ng pyramid, ang mga gilid ng triangles ay ang mga gilid ng pyramid, at ang punto ay karaniwan; sa lahat ng tatsulok ay ang tuktok ng pyramid.
Depende sa bilang ng mga anggulo sa base ng pyramid, maaari itong tawaging triangular, quadrangular, at iba pa (Fig. 2).
Larawan 2.
Ang isa pang uri ng pyramid ay ang regular na pyramid.
Ipakilala at patunayan natin ang pag-aari ng isang regular na pyramid.
Teorama 1
Ang lahat ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid ay isosceles triangles na pantay sa isa't isa.
Patunay.
Isaalang-alang ang isang regular na $n-$gonal pyramid na may tuktok na $S$ ng taas $h=SO$. Gumuhit tayo ng bilog sa paligid ng base (Larawan 4).
Larawan 4.
Isaalang-alang ang tatsulok na $SOA$. Ayon sa Pythagorean theorem, nakukuha natin
Malinaw, ang anumang gilid na gilid ay tutukuyin sa ganitong paraan. Dahil dito, ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay-pantay sa bawat isa, iyon ay, lahat ng panig na mukha - isosceles triangles. Patunayan natin na pantay-pantay sila sa isa't isa. Dahil ang base ay isang regular na polygon, ang mga base ng lahat ng panig na mukha ay katumbas ng bawat isa. Dahil dito, ang lahat ng mga lateral na mukha ay pantay ayon sa III criterion ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.
Ang teorama ay napatunayan.
Ipakilala natin ngayon ang sumusunod na kahulugan na nauugnay sa konsepto ng isang regular na pyramid.
Kahulugan 3
Ang apothem ng isang regular na pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito.
Malinaw, sa pamamagitan ng Theorem One, lahat ng apothems ay pantay-pantay sa bawat isa.
Teorama 2
Ang lateral surface area ng isang regular na pyramid ay tinutukoy bilang produkto ng semi-perimeter ng base at apothem.
Patunay.
Tukuyin natin ang gilid ng base ng $n-$gonal pyramid ng $a$, at ang apothem ng $d$. Samakatuwid, ang lugar ng gilid ng mukha ay katumbas ng
Dahil, ayon sa Theorem 1, lahat panig ay pantay, kung gayon
Ang teorama ay napatunayan.
Ang isa pang uri ng pyramid ay isang pinutol na pyramid.
Kahulugan 4
Kung ang isang eroplanong parallel sa base nito ay iginuhit sa pamamagitan ng isang ordinaryong pyramid, kung gayon ang figure na nabuo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ay tinatawag na isang pinutol na pyramid (Larawan 5).
Larawan 5. Pinutol na pyramid
Ang mga lateral na mukha ng pinutol na pyramid ay mga trapezoid.
Teorama 3
Ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid ay tinutukoy bilang produkto ng kabuuan ng mga semi-perimeter ng mga base at apothem.
Patunay.
Tukuyin natin ang mga gilid ng mga base ng $n-$gonal pyramid sa pamamagitan ng $a\ at\ b$, ayon sa pagkakabanggit, at ang apothem ng $d$. Samakatuwid, ang lugar ng gilid ng mukha ay katumbas ng
Dahil ang lahat ng panig ay pantay, kung gayon
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa 1
Hanapin ang lugar ng lateral surface ng truncated triangular pyramid kung ito ay nakuha mula sa isang regular na pyramid na may base side 4 at apothem 5 sa pamamagitan ng pagputol ng eroplanong dumadaan sa midline ng mga side face.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng teorama tungkol sa midline nalaman namin na ang itaas na base ng pinutol na pyramid ay katumbas ng $4\cdot \frac(1)(2)=2$, at ang apothem ay katumbas ng $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$.
Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 3, nakukuha natin
Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga gawain na kasama sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika. Napag-aralan na natin ang mga problema kung saan ibinibigay ang kundisyon at kinakailangang hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na punto o isang anggulo.
Ang isang pyramid ay isang polyhedron, ang base nito ay isang polygon, ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok, at mayroon silang isang karaniwang vertex.
Tamang pyramid- ito ay isang pyramid sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang vertex nito ay inaasahang papunta sa gitna ng base.
Isang regular na quadrangular pyramid - ang base ay isang parisukat Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (parisukat).
ML - apothem
∠MLO - dihedral angle sa base ng pyramid
∠MCO - anggulo sa pagitan ng lateral edge at ng eroplano ng base ng pyramid
Sa artikulong ito titingnan natin ang mga problema upang malutas ang isang regular na pyramid. Kailangan mong makahanap ng ilang elemento, lateral surface area, volume, taas. Siyempre, kailangan mong malaman ang Pythagorean theorem, ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang pyramid, at ang formula para sa paghahanap ng volume ng isang pyramid.
Sa artikulo Ang "" ay nagpapakita ng mga formula na kinakailangan upang malutas ang mga problema sa stereometry. Kaya, ang mga gawain:
SABCD tuldok O- gitna ng base,S tuktok, KAYA = 51, A.C.= 136. Hanapin ang gilid na gilidS.C..
Sa kasong ito, ang base ay isang parisukat. Nangangahulugan ito na ang mga diagonal na AC at BD ay pantay, sila ay nagsalubong at nahahati ng intersection point. Tandaan na sa isang regular na pyramid ang taas na bumaba mula sa tuktok nito ay dumadaan sa gitna ng base ng pyramid. Kaya SO ay ang taas at ang tatsulokSOChugis-parihaba. Pagkatapos ay ayon sa Pythagorean theorem:
Paano kunin ang ugat mula sa malaking bilang.
Sagot: 85
Magpasya para sa iyong sarili:
Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- gitna ng base, S tuktok, KAYA = 4, A.C.= 6. Hanapin ang gilid na gilid S.C..
Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- gitna ng base, S tuktok, S.C. = 5, A.C.= 6. Hanapin ang haba ng segment KAYA.
Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- gitna ng base, S tuktok, KAYA = 4, S.C.= 5. Hanapin ang haba ng segment A.C..
SABC R- gitna ng tadyang B.C., S- itaas. Ito ay kilala na AB= 7, a S.R.= 16. Hanapin ang lateral surface area.
Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na triangular pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem (apothem ay ang taas ng lateral na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito):
O maaari nating sabihin ito: ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng tatlong lateral na mukha. Ang mga lateral na mukha sa isang regular na triangular na pyramid ay mga tatsulok na may pantay na lugar. Sa kasong ito:
Sagot: 168
Magpasya para sa iyong sarili:
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC R- gitna ng tadyang B.C., S- itaas. Ito ay kilala na AB= 1, a S.R.= 2. Hanapin ang lateral surface area.
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC R- gitna ng tadyang B.C., S- itaas. Ito ay kilala na AB= 1, at ang lugar ng lateral surface ay 3. Hanapin ang haba ng segment S.R..
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC L- gitna ng tadyang B.C., S- itaas. Ito ay kilala na SL= 2, at ang lugar ng lateral surface ay 3. Hanapin ang haba ng segment AB.
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC M. Lugar ng isang tatsulok ABC ay 25, ang volume ng pyramid ay 100. Hanapin ang haba ng segment MS.
Ang base ng pyramid ay isang equilateral triangle. kaya lang May ang sentro ng base, atMS- taas ng isang regular na pyramidSABC. Dami ng pyramid SABC katumbas ng: tingnan ang solusyon
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC ang mga median ng base ay nagsalubong sa punto M. Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 3, MS= 1. Hanapin ang volume ng pyramid.
Sa isang regular na triangular na pyramid SABC ang mga median ng base ay nagsalubong sa punto M. Ang dami ng pyramid ay 1, MS= 1. Hanapin ang lugar ng tatsulok ABC.
Tapusin na natin dito. Tulad ng nakikita mo, ang mga problema ay malulutas sa isa o dalawang hakbang. Sa hinaharap, isasaalang-alang natin ang iba pang mga problema mula sa bahaging ito, kung saan ibinibigay ang mga katawan ng rebolusyon, huwag palampasin ito!
Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh.
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Pyramid ay isang polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .
Lateral rib ng isang pyramid ay ang gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng mga lateral na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa bawat isa, ang lahat ng mga lateral na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothem . Diagonal na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.
Lateral surface area Ang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha. Kabuuang lugar sa ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.
Theorems
1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base.
2. Kung sa isang pyramid lahat ng lateral edge ay mayroon pantay na haba, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base.
3. Kung ang lahat ng mga mukha sa isang pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa base.
Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, ang tamang formula ay:
saan V- dami;
S base- base na lugar;
H– taas ng pyramid.
Para sa isang regular na pyramid, tama ang mga sumusunod na formula:
saan p- base perimeter;
h a– apothem;
H- taas;
S puno
S gilid
S base- base na lugar;
V– dami ng isang regular na pyramid.
Pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na parallel sa base ng pyramid.
Mga dahilan pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - mga trapezoid. taas ng isang pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ay isang seksyon ng pinutol na pyramid ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa iisang mukha.
Para sa isang pinutol na pyramid ang mga sumusunod na formula ay wasto:
(4)
saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;
S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;
S gilid- lateral surface area;
H- taas;
V– dami ng pinutol na pyramid.
Para sa isang regular na pinutol na pyramid ang formula ay tama:
saan p 1 , p 2 - mga perimeter ng mga base;
h a- apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.
Halimbawa 1. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).
 |
Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na sa base ay may equilateral triangle at ang lahat ng side face ay pantay na isosceles triangles. Anggulo ng dihedral sa base - ito ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Linear na anggulo magkakaroon ng anggulo a sa pagitan ng dalawang patayo: atbp. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng bilog na bilog at nakasulat na bilog ng tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng gilid (halimbawa S.B.) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito papunta sa eroplano ng base. Para sa tadyang S.B. ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang tangent kailangan mong malaman ang mga binti KAYA At O.B.. Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 A. Dot TUNGKOL SA segment BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: 
Mula sa nakita namin: 
Sagot:
Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay katumbas ng cm at cm, at ang taas nito ay 4 cm.
Solusyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay katumbas ng 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit.
Sagot: 112 cm 3.
Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng lateral na mukha ng isang regular na triangular na pinutol na pyramid, ang mga gilid ng mga base na kung saan ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).
Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ayon sa kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hahanapin natin siya kung saan A 1 E patayo mula sa isang punto A 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D– patayo mula sa A 1 bawat AC. A 1 E= 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para mahanap DE Gumawa tayo ng karagdagang pagguhit na nagpapakita ng tuktok na view (Larawan 20). Dot TUNGKOL SA– projection ng mga sentro ng upper at lower bases. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK– radius na nakasulat sa bilog at 
OM– radius na nakasulat sa isang bilog:
MK = DE.
Ayon sa Pythagorean theorem mula sa
Lugar ng mukha sa gilid: 
Sagot:
Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito A At b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.
Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid ABCD.
Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot TUNGKOL SA– projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Sa pamamagitan ng theorem sa lugar ng orthogonal projection patag na pigura makuha namin:
Gayundin ang ibig sabihin nito 
Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid ABCD. Gumuhit tayo ng trapezoid ABCD hiwalay (Larawan 22). Dot TUNGKOL SA– ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.
Dahil ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang trapezoid, kung gayon o Mula sa Pythagorean theorem mayroon tayo
Mga tagubilin
Kung sakaling nasa base mga pyramid namamalagi ng isang parisukat, ang haba ng dayagonal nito ay kilala, pati na rin ang haba ng gilid nito mga pyramid, Iyon taas ito mga pyramid ay maaaring ipahayag mula sa Pythagorean theorem, dahil ang isang tatsulok ay nabuo sa pamamagitan ng isang gilid mga pyramid, at kalahati ng dayagonal sa base ay isang tamang tatsulok.
Ang Pythagorean theorem ay nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse sa isang hugis-parihaba na tatsulok ay katumbas ng laki sa kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito (a² = b² + c²). gilid mga pyramid- hypotenuse, ang isa sa mga binti ay kalahati ng dayagonal ng parisukat. Pagkatapos ang haba ng hindi kilalang binti (taas) ay matatagpuan gamit ang mga formula:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Upang gawing malinaw at naiintindihan ang parehong sitwasyon hangga't maaari, maaari mong isaalang-alang ang isang pares.
Halimbawa 1: Base area mga pyramid 46 cm², ang volume nito ay 120 cm³. Batay sa mga datos na ito, ang taas mga pyramid ay matatagpuan tulad nito:
h = 3*120/46 = 7.83 cm
Sagot: ang taas nito mga pyramid ay humigit-kumulang 7.83 cm
Halimbawa 2: U mga pyramid, sa base kung saan namamalagi ang isang polygon - isang parisukat, ang dayagonal nito ay 14 cm, ang haba ng gilid ay 15 cm, ayon sa mga datos na ito, upang mahanap taas mga pyramid, kailangan mong gamitin ang sumusunod na formula (na bunga ng Pythagorean theorem):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Sagot: ang taas nito mga pyramid ay √29 cm o humigit-kumulang 5.4 cm
Mangyaring tandaan
Kung sa base ng pyramid mayroong isang parisukat o iba pang regular na polygon, kung gayon ang pyramid na ito ay maaaring tawaging regular. Ang ganitong pyramid ay may ilang mga katangian:
ang mga lateral ribs nito ay pantay;
ang mga mukha nito ay isosceles triangles na pantay sa isa't isa;
sa paligid ng gayong pyramid ay maaaring ilarawan ng isa ang isang globo, at isulat din ito.
Mga Pinagmulan:
Ang pyramid ay isang pigura na ang base ay isang polygon, at ang mga mukha nito ay mga tatsulok na may karaniwang vertex para sa lahat. Sa mga tipikal na problema, madalas na kinakailangan upang bumuo at matukoy ang haba ng isang patayo na iginuhit mula sa isang vertex mga pyramid sa eroplano ng base nito. Ang haba ng segment na ito ay tinatawag na taas mga pyramid.
Kakailanganin mo
Mga tagubilin
Upang makumpleto, bumuo ng isang pyramid alinsunod sa mga kondisyon ng gawain. Halimbawa, upang bumuo ng isang regular na tetrahedron, kailangan mong gumuhit ng isang figure upang ang lahat ng 6 na mga gilid ay pantay sa bawat isa. Kung kailangan mong magtayo taas quadrangular, pagkatapos ay 4 na gilid lamang ng base ang dapat na pantay. Pagkatapos ay maaari mong buuin ang mga gilid ng mga gilid na mukha na hindi pantay sa mga gilid ng polygon. Pangalanan ang pyramid, na nilagyan ng mga letrang Latin ang lahat ng vertices. Halimbawa, para sa mga pyramid na may isang tatsulok sa base maaari mong piliin ang A, B, C (para sa base), S (para sa tuktok). Kung ang kundisyon ay tumutukoy sa mga tiyak na sukat ng mga buto-buto, pagkatapos kapag itinatayo ang figure, magpatuloy mula sa mga halagang ito.
Upang magsimula, piliin ang kondisyon, gamit ang isang compass, padaplis mula sa loob hanggang sa lahat ng mga gilid ng polygon. Kung ang isang pyramid, pagkatapos ay ang punto (tawagan ito, halimbawa, H) sa base mga pyramid, kung saan bumababa ang taas, ay dapat na tumutugma sa gitna ng bilog na nakasulat sa tamang base mga pyramid. Ang sentro ay tumutugma sa isang punto na katumbas ng layo mula sa anumang iba pang punto sa bilog. Kung ikinonekta mo ang vertex mga pyramid S na may gitna ng bilog na H, pagkatapos ay ang segment na SH ang magiging taas mga pyramid. Tandaan na ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay may parehong kabuuan. Nalalapat ito sa parisukat at rhombus. Sa kasong ito, ang punto H ay nasa quadrilateral. Para sa anumang tatsulok posible na isulat at ilarawan ang isang bilog.
Upang bumuo taas mga pyramid, gumamit ng compass para gumuhit ng bilog, at pagkatapos ay gumamit ng ruler para ikonekta ang center H nito sa vertex S. SH ang gustong taas. Kung sa base mga pyramid SABC maling pigura, pagkatapos ay ikokonekta ng taas ang vertex mga pyramid sa gitna ng bilog kung saan nakasulat ang base polygon. Ang lahat ng mga vertices ng polygon ay namamalagi sa naturang bilog. Sa kasong ito, ang segment na ito ay magiging patayo sa eroplano ng base mga pyramid. Maaari mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang quadrilateral kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay 180°. Pagkatapos ang gitna ng naturang bilog ay namamalagi sa intersection ng mga diagonal ng kaukulang
