Ang aralin sa video na "Equation ng isang tangent sa graph ng isang function" ay nagpapakita ng materyal na pang-edukasyon para sa mastering ng paksa. Sa panahon ng aralin sa video, ang teoretikal na materyal na kinakailangan upang mabuo ang konsepto ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto, isang algorithm para sa paghahanap ng naturang tangent, at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang pinag-aralan na teoretikal na materyal ay inilarawan. .
Gumagamit ang video tutorial ng mga pamamaraan na nagpapahusay sa kalinawan ng materyal. Ang pagtatanghal ay naglalaman ng mga guhit, diagram, mahahalagang komento ng boses, animation, pag-highlight at iba pang mga tool.
Ang video lesson ay nagsisimula sa isang presentasyon ng paksa ng aralin at isang imahe ng isang tangent sa graph ng ilang function na y=f(x) sa puntong M(a;f(a)). Alam na ang angular coefficient ng tangent na naka-plot sa graph sa isang naibigay na punto ay katumbas ng derivative ng function na f΄(a) sa puntong ito. Mula din sa kursong algebra alam natin ang equation ng tuwid na linya y=kx+m. Ang solusyon sa problema ng paghahanap ng tangent equation sa isang punto ay schematically na ipinakita, na binabawasan sa paghahanap ng mga coefficient k, m. Ang pag-alam sa mga coordinate ng isang punto na kabilang sa graph ng function, mahahanap natin ang m sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng coordinate sa tangent equation f(a)=ka+m. Mula dito makikita natin ang m=f(a)-ka. Kaya, ang pag-alam sa halaga ng derivative sa isang naibigay na punto at ang mga coordinate ng punto, maaari nating katawanin ang tangent equation sa ganitong paraan y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Ang sumusunod ay isang halimbawa ng pagbuo ng tangent equation kasunod ng diagram. Ibinigay ang function na y=x 2 , x=-2. Sa pagkuha ng a=-2, makikita natin ang halaga ng function sa isang ibinigay na punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Tinutukoy namin ang derivative ng function f΄(x)=2x. Sa puntong ito ang derivative ay katumbas ng f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Upang mabuo ang equation, lahat ng coefficients a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ay natagpuan, kaya ang tangent equation ay y=4+(-4)(x+2). Pinasimple ang equation, nakukuha natin ang y = -4-4x.
Ang sumusunod na halimbawa ay nagmumungkahi ng pagbuo ng isang equation para sa tangent sa pinanggalingan sa graph ng function na y=tgx. Sa isang ibinigay na punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Kaya ang tangent equation ay mukhang y=x.
Bilang isang pangkalahatan, ang proseso ng pagbuo ng isang equation tangent sa graph ng isang function sa isang tiyak na punto ay pormal sa anyo ng isang algorithm na binubuo ng 4 na hakbang:
Halimbawa 1 ay isinasaalang-alang ang pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y=1/x sa punto x=1. Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang algorithm. Para sa isang ibinigay na function sa punto a=1, ang halaga ng function f(a)=-1. Derivative ng function f΄(x)=1/x 2. Sa puntong a=1 ang derivative f΄(a)= f΄(1)=1. Gamit ang data na nakuha, ang tangent equation na y=-1+(x-1), o y=x-2, ay iginuhit.
Sa halimbawa 2, kinakailangan upang mahanap ang equation ng tangent sa graph ng function na y=x 3 +3x 2 -2x-2. Ang pangunahing kondisyon ay ang parallelism ng tangent at tuwid na linya y=-2x+1. Una naming mahanap ang angular coefficient ng tangent, katumbas ng dalisdis tuwid na linya y=-2x+1. Dahil f΄(a)=-2 para sa isang naibigay na linya, kung gayon k=-2 para sa nais na padaplis. Nahanap natin ang derivative ng function (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Alam na f΄(a)=-2, nakita natin ang mga coordinate ng point 3a 2 +6a-2=-2. Nang malutas ang equation, makakakuha tayo ng 1 =0, at 2 =-2. Gamit ang nahanap na mga coordinate, mahahanap mo ang tangent equation gamit ang isang kilalang algorithm. Nahanap namin ang halaga ng function sa mga puntos na f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Ang halaga ng derivative sa punto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa tangent equation, nakuha namin para sa unang punto a 1 =0 y=-2x-2, at para sa pangalawang punto a 2 =-2 ang tangent equation y=-2x-22.
Inilalarawan ng Halimbawa 3 ang komposisyon ng tangent equation para sa pagguhit nito sa punto (0;3) sa graph ng function na y=√x. Ang solusyon ay ginawa gamit ang isang kilalang algorithm. Ang tangent point ay may mga coordinate x=a, kung saan a>0. Ang halaga ng function sa punto f(a)=√x. Ang derivative ng function f΄(х)=1/2√х, samakatuwid sa isang ibinigay na punto f΄(а)=1/2√а. Ang pagpapalit ng lahat ng nakuhang halaga sa tangent equation, makuha natin ang y = √a + (x-a)/2√a. Pagbabago ng equation, nakukuha natin ang y=x/2√а+√а/2. Alam na ang padaplis ay dumadaan sa punto (0;3), nakita natin ang halaga ng a. Nakahanap kami ng mula sa 3=√a/2. Kaya √a=6, a=36. Nahanap namin ang tangent equation y=x/12+3. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na isinasaalang-alang at ang constructed na nais na tangent.
Ang mga mag-aaral ay pinapaalalahanan ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay Δy=≈f΄(x)Δxat f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Pagkuha ng x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, nakukuha natin ang f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), kaya f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Sa halimbawa 4, kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng expression na 2.003 6. Dahil kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function na f(x)=x 6 sa puntong x=2.003, maaari nating gamitin ang kilalang formula, kumukuha ng f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivative sa puntong f΄(2)=192. Samakatuwid, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Sa pagkalkula ng expression, makakakuha tayo ng 2.003 6 ≈64.576.
Ang video lesson na "Equation of a tangent to the graph of a function" ay inirerekomenda para gamitin sa isang tradisyonal na aralin sa matematika sa paaralan. Para sa isang guro na nagtuturo nang malayuan, makakatulong ang materyal sa video na ipaliwanag ang paksa nang mas malinaw. Maaaring irekomenda ang video para sa mga mag-aaral na mag-isa na magrepaso kung kinakailangan upang mapalalim ang kanilang pag-unawa sa paksa.
PAG-DECODE NG TEKSTO:
Alam natin na kung ang isang puntong M (a; f(a)) (em na may mga coordinate a at ef mula sa a) ay kabilang sa graph ng function na y = f (x) at kung sa puntong ito posible na gumuhit ng tangent sa graph ng function na hindi patayo sa axis abscissa, kung gayon ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f"(a) (eff prime mula sa a).
Hayaang maibigay ang isang function na y = f(x) at isang punto M (a; f(a)), at alam din na umiral ang f´(a). Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang partikular na punto. Ang equation na ito, tulad ng equation ng anumang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis, ay may anyo na y = kx+m (ang y ay katumbas ng ka x plus em), kaya ang gawain ay hanapin ang mga halaga ng ang mga koepisyent k at m (ka at em)
Angle coefficient k= f"(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M(a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng ituro ang M sa equation ng tuwid na linya, nakuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay : f(a) = ka+m, mula sa kung saan makikita natin na m = f(a) - ka.
Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient na ki at m sa equation ng tuwid na linya:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y ay katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, pinarami ng x minus a).
Nakuha namin ang equation para sa tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong x=a.
Kung, sabihin nating, y = x 2 at x = -2 (i.e. a = -2), kung gayon f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, na nangangahulugang f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (kung gayon ang ef ng a ay katumbas ng apat, ang ef ng prime ng x ay katumbas ng dalawang x, na nangangahulugang ef prime mula sa isang katumbas ng minus apat)
Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 sa equation, makuha namin ang: y = 4+(-4)(x+2), i.e. y = -4x -4.
(E ay katumbas ng minus apat x minus apat)
Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = tanx (ang y ay katumbas ng tangent x) sa pinanggalingan. Mayroon kaming: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , na nangangahulugang f"(0) = l. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 sa equation, nakukuha natin ang: y=x.
Ibuod natin ang ating mga hakbang sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa point x gamit ang isang algorithm.
ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION PARA SA TANGENT SA GRAPH NG FUNCTION y = f(x):
1) Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2) Kalkulahin ang f(a).
3) Hanapin ang f´(x) at kalkulahin ang f´(a).
4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f´(a) sa formula y= f(a)+ f"(a) (x- a).
Halimbawa 1. Gumawa ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = - in
punto x = 1.
Solusyon. Gamitin natin ang algorithm, na isinasaalang-alang iyon sa sa halimbawang ito
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Palitan ang nahanap na tatlong numero: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 sa formula. Nakukuha namin ang: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Sagot: y = x-2.
Halimbawa 2. Ibinigay ang function na y = x 3 +3x 2 -2x-2. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = f(x), parallel sa tuwid na linya y = -2x +1.
Gamit ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, isinasaalang-alang namin na sa halimbawang ito f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ngunit ang abscissa ng tangent point ay hindi ipinahiwatig dito.
Magsimula tayong mag-isip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na parallel sa tuwid na linya y = -2x+1. At ang mga parallel na linya ay may pantay na angular coefficients. Nangangahulugan ito na ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng angular coefficient ng ibinigay na tuwid na linya: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation f ´(a) = -2.
Hanapin natin ang derivative ng function y=f(x):
f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.
Mula sa equation f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 nakita namin ang isang 1 =0, isang 2 =-2. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: ang isa sa punto na may abscissa 0, ang isa sa punto na may abscissa -2.
Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.
1) a 1 =0, at 2 =-2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Ang pagpapalit ng mga halaga a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 sa formula, nakukuha natin:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Ang pagpapalit ng mga halaga a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 sa formula, nakukuha natin:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Sagot: y=-2x-2, y=-2x+2.
Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 3) gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = . Solusyon. Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x) = . Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, sinusunod namin ang algorithm.
1) Hayaang x = a ang abscissa ng punto ng tangency; malinaw na ang isang >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Pagpapalit ng mga halaga ng a, f(a) = , f"(a) = sa formula
y=f (a) +f "(a) (x-a), nakukuha namin ang:
Sa pamamagitan ng kondisyon, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 3). Ang pagpapalit ng mga halaga x = 0, y = 3 sa equation, nakukuha natin ang: 3 = , at pagkatapos ay =6, a =36.
Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, sa ika-apat na hakbang lamang ng algorithm, nahanap namin ang abscissa ng tangent point. Ang pagpapalit ng halaga a =36 sa equation, makuha natin ang: y=+3
Sa Fig. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: isang graph ng function na y = ay binuo, isang tuwid na linya ay iginuhit y = +3.
Sagot: y = +3.
Alam natin na para sa isang function na y = f(x), na mayroong derivative sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto: Δyf´(x)Δx (ang delta y ay tinatayang katumbas ng eff prime ng x na pinarami ng delta x)
o, nang mas detalyado, ang f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff mula sa x plus delta x minus ef mula sa x ay tinatayang katumbas ng ef prime mula sa x by delta x).
Para sa kaginhawaan ng karagdagang talakayan, baguhin natin ang notasyon:
sa halip na x kami ay magsusulat A,
sa halip na x+Δx isusulat namin ang x
Sa halip na Δx isusulat natin ang x-a.
Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ang eff mula sa x ay tinatayang katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, na pinarami ng pagkakaiba sa pagitan ng x at a).
Halimbawa 4: Maghanap ng tinatayang halaga numerical expression 2,003 6 .
Solusyon. Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 6 sa puntong x = 2.003. Gamitin natin ang formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 at, samakatuwid, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Bilang resulta, nakukuha namin ang:
2.003 6 64+192· 0.003, ibig sabihin. 2.003 6 =64.576.
Kung gagamit tayo ng calculator, makukuha natin ang:
2,003 6 = 64,5781643...
Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.
Ang tangent ay isang tuwid na linya , na humipo sa graph ng function sa isang punto at lahat ng mga punto ay nasa pinakamaikling distansya mula sa graph ng function. Samakatuwid, ang tangent ay pumasa sa tangent sa graph ng function sa isang tiyak na anggulo, at ilang mga tangent sa iba't ibang mga anggulo ay hindi maaaring dumaan sa punto ng tangency. Ang mga tangent equation at normal na equation sa graph ng isang function ay binuo gamit ang derivative.
Ang tangent equation ay nagmula sa line equation .
Kunin natin ang equation ng tangent, at pagkatapos ay ang equation ng normal sa graph ng function.
y = kx + b .
Sa kanya k- angular coefficient.
Mula dito nakuha namin ang sumusunod na entry:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Derivative na halaga f "(x 0 ) mga function y = f(x) sa punto x0 katumbas ng slope k= tg φ padaplis sa graph ng isang function na iginuhit sa pamamagitan ng isang punto M0 (x 0 , y 0 ) , Saan y0 = f(x 0 ) . Ito ay geometriko na kahulugan derivative .
Kaya, maaari naming palitan k sa f "(x 0 ) at kunin ang mga sumusunod equation ng tangent sa graph ng isang function :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Sa mga problemang kinasasangkutan ng pagbubuo ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function (at magpapatuloy tayo sa mga ito sa lalong madaling panahon), kinakailangan na bawasan ang equation na nakuha mula sa formula sa itaas sa equation ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kailangan mong ilipat ang lahat ng mga titik at numero sa kaliwang bahagi equation, at iwanan ang zero sa kanang bahagi.
Ngayon tungkol sa normal na equation. Normal - ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ng tangency sa graph ng function na patayo sa tangent. Normal na equation :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Upang magpainit, hihilingin sa iyo na lutasin ang unang halimbawa sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon. Mayroong lahat ng dahilan upang umasa na ang gawaing ito ay hindi magiging isang "cold shower" para sa aming mga mambabasa.
Halimbawa 0. Lumikha ng isang tangent equation at isang normal na equation para sa graph ng isang function sa isang punto M (1, 1) .
Halimbawa 1. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa graph ng isang function 
, kung ang abscissa ay padaplis.
Hanapin natin ang derivative ng function:
Ngayon ay mayroon na tayong lahat na kailangang i-substitute sa entry na ibinigay sa teoretikal na tulong upang makuha ang tangent equation. Nakukuha namin
Sa halimbawang ito, kami ay mapalad: ang slope ay naging zero, kaya hiwalay naming binabawasan ang equation sa pangkalahatang anyo ay hindi kailangan. Ngayon ay maaari tayong lumikha ng normal na equation:
Sa figure sa ibaba: graph ng isang function kulay burgundy, padaplis Kulay berde, kulay kahel na normal.
Ang susunod na halimbawa ay hindi rin kumplikado: ang pag-andar, tulad ng sa nauna, ay isang polynomial din, ngunit ang slope ay hindi magiging katumbas ng zero, kaya ang isa pang hakbang ay idaragdag - dinadala ang equation sa isang pangkalahatang anyo.
Halimbawa 2.
Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:
Hanapin natin ang derivative ng function:
.
Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:
Pinapalitan namin ang lahat ng nakuhang data sa "blangko na formula" at makuha ang tangent equation:
Dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo nito (kinokolekta namin ang lahat ng mga titik at numero maliban sa zero sa kaliwang bahagi, at iniiwan ang zero sa kanan):
Binubuo namin ang normal na equation:
Halimbawa 3. Sumulat ng tangent equation at normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang tangent point.
Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:
Hanapin natin ang derivative ng function:
.
Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:
.
Natagpuan namin ang tangent equation:
Bago dalhin ang equation sa pangkalahatang anyo nito, kailangan mong "magsuklay" ng kaunti: i-multiply ang term sa term sa 4. Ginagawa namin ito at dinadala ang equation sa pangkalahatang anyo nito:
Binubuo namin ang normal na equation:
Halimbawa 4. Sumulat ng tangent equation at normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang tangent point.
Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:
.
Hanapin natin ang derivative ng function:
Hanapin natin ang halaga ng derivative sa punto ng tangency, iyon ay, ang slope ng tangent:
.
Nakukuha namin ang tangent equation:
Dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo nito:
Binubuo namin ang normal na equation:
Ang isang karaniwang pagkakamali kapag nagsusulat ng tangent at normal na mga equation ay hindi mapansin na ang function na ibinigay sa halimbawa ay kumplikado at upang kalkulahin ang derivative nito bilang derivative ng isang simpleng function. Ang mga sumusunod na halimbawa- simula pa noon kumplikadong mga pag-andar(magbubukas ang kaukulang aralin sa isang bagong window).
Halimbawa 5. Sumulat ng tangent equation at normal na equation sa graph ng function kung ang abscissa ay ang tangent point.
Solusyon. Hanapin natin ang ordinate ng tangent point:
Pansin! Ang pagpapaandar na ito ay kumplikado, dahil ang padaplis na argumento (2 x) ay mismong isang function. Samakatuwid, nakita natin ang derivative ng isang function bilang derivative ng isang kumplikadong function.
Halimbawa 1. Nabigyan ng function f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) sa graph point na may abscissa x 0 = 1.
Solusyon. Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin siya:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Pagkatapos f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Ang tangent equation ay may anyo:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Sagot. y = 10x – 8.
Halimbawa 2. Nabigyan ng function f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x), parallel sa linya y = 2x – 11.
Solusyon. Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin siya:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Dahil ang padaplis sa graph ng function f(x) sa punto ng abscissa x 0 ay parallel sa linya y = 2x– 11, kung gayon ang slope nito ay katumbas ng 2, i.e. ( x 0) = 2. Hanapin natin ang abscissa na ito mula sa kondisyon na 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa lamang kapag x 0 = 0 at sa x 0 = 2. Dahil sa parehong mga kaso f(x 0) = 5, pagkatapos ay tuwid y = 2x + b hinawakan ang graph ng function alinman sa punto (0; 5) o sa punto (2; 5).
Sa unang kaso, ang numerical equality 5 = 2×0 + ay totoo b, saan b= 5, at sa pangalawang kaso ang numerical equality 5 = 2×2 + ay totoo b, saan b = 1.
Kaya mayroong dalawang tangents y = 2x+ 5 at y = 2x+ 1 sa graph ng function f(x), parallel sa linya y = 2x – 11.
Sagot. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Halimbawa 3. Nabigyan ng function f(x) = x 2 – 6x+ 7. Isulat natin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x), na dumadaan sa punto A (2; –5).
Solusyon. kasi f(2) –5, pagkatapos ay ituro A ay hindi kabilang sa graph ng function f(x). Hayaan x 0 - abscissa ng tangent point.
Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin siya:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Pagkatapos f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Ang tangent equation ay may anyo:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Since the point A nabibilang sa tangent, kung gayon ang numerical equality ay totoo
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
saan x 0 = 0 o x 0 = 4. Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng punto A maaari kang gumuhit ng dalawang tangent sa graph ng function f(x).
Kung x 0 = 0, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = –6x+ 7. Kung x 0 = 4, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = 2x – 9.
Sagot. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Halimbawa 4. Mga function na ibinigay f(x) = x 2 – 2x+ 2 at g(x) = –x 2 – 3. Isulat natin ang equation ng common tangent sa mga graph ng mga function na ito.
Solusyon. Hayaan x 1 - abscissa ng punto ng tangency ng nais na linya na may graph ng function f(x), A x 2 - abscissa ng punto ng tangency ng parehong linya na may graph ng function g(x).
Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R . Hanapin natin siya:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Pagkatapos f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Ang tangent equation ay may anyo:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Hanapin natin ang derivative ng function g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Tangent ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa kurba at kasabay nito sa puntong ito hanggang sa unang pagkakasunud-sunod (Fig. 1).
Isa pang kahulugan: ito ang naglilimitang posisyon ng secant sa Δ x→0.
Paliwanag: Kumuha ng isang tuwid na linya na nagsasalubong sa kurba sa dalawang punto: A At b(tingnan ang larawan). Ito ay isang secant. Iikot namin ito nang sunud-sunod hanggang sa makakita lamang ito ng isang karaniwang punto na may kurba. Bibigyan tayo nito ng tangent.
Mahigpit na kahulugan ng tangent:
Tangent sa graph ng isang function f, naiba sa punto xO, ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ( xO; f(xO)) at pagkakaroon ng slope f′( xO).
Ang slope ay may tuwid na linya ng anyo y=kx +b. Coefficient k at ay dalisdis itong tuwid na linya.
Ang slope ay katumbas ng tangent matinding anggulo, na nabuo ng tuwid na linyang ito na may abscissa axis:
|
Narito ang anggulo α ay ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya y=kx +b at positibo (iyon ay, counterclockwise) na direksyon ng x-axis. Ito ay tinatawag na anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya(Larawan 1 at 2). 
Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b talamak, kung gayon ang slope ay isang positibong numero. Ang graph ay tumataas (Fig. 1).
Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b ay mahina, kung gayon ang slope ay isang negatibong numero. Bumababa ang graph (Fig. 2).
Kung ang tuwid na linya ay parallel sa x-axis, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay zero. Sa kasong ito, ang slope ng linya ay zero din (dahil ang tangent ng zero ay zero). Ang equation ng tuwid na linya ay magmumukhang y = b (Fig. 3).
Kung ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya ay 90º (π/2), iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, kung gayon ang tuwid na linya ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay. x =c, Saan c– ilang totoong numero (Larawan 4).
Equation ng tangent sa graph ng isang functiony = f(x) sa punto xO:
Halimbawa: Hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 sa puntong may abscissa 2.
Solusyon .
Sinusunod namin ang algorithm.
1) Touch point xO ay katumbas ng 2. Kalkulahin f(xO):
f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Hanapin f′( x). Upang gawin ito, inilalapat namin ang mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakabalangkas sa nakaraang seksyon. Ayon sa mga formula na ito, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Ibig sabihin:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Ngayon, gamit ang resultang halaga f′( x), kalkulahin f′( xO):
f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. I-substitute ang mga numerong ito sa tangent equation at hanapin ang huling solusyon:
y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Sagot: y = 4x – 7.
Y = f(x) at kung sa puntong ito ang isang tangent ay maaaring iguhit sa graph ng function na hindi patayo sa abscissa axis, kung gayon ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f"(a). ginamit ito ng ilang beses Halimbawa, sa § 33 ay itinatag na ang graph ng function na y = sin x (sinusoid) sa pinanggalingan ay bumubuo ng isang anggulo ng 45° na may x-axis (mas tiyak, ang padaplis sa the. Ang graph sa pinanggalingan ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may positibong direksyon ng x-axis), at sa halimbawa 5 § 33 puntos ang natagpuan sa ibinigay na iskedyul mga function, kung saan ang padaplis ay parallel sa x-axis. Sa halimbawa 2 ng § 33, isang equation ang ginawa para sa tangent sa graph ng function na y = x 2 sa punto x = 1 (mas tiyak, sa punto (1; 1), ngunit mas madalas ang abscissa value lang ang ipinahiwatig, na naniniwala na kung ang halaga ng abscissa ay kilala, kung gayon ang halaga ng ordinate ay matatagpuan mula sa equation na y = f(x)). Sa seksyong ito bubuo kami ng isang algorithm para sa pagbuo ng isang tangent equation sa graph ng anumang function.
Hayaang ibigay ang function na y = f(x) at ang point M (a; f(a)), at alam din na umiral ang f"(a). Bumuo tayo ng equation para sa tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto Ang equation na ito ay tulad ng equation ng anumang isang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis ay may form na y = kx+m, kaya ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng mga coefficients k at m.
Walang mga problema sa angular coefficient k: alam namin na k = f "(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M(a; f (a)) . Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate point M sa equation ng tuwid na linya, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay: f(a) = ka+m, kung saan makikita natin na m = f(a) - ka.
Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient ng kit sa ang equation tuwid:
Nakuha namin ang equation para sa tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong x=a.
Kung, sabihin,
Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 sa equation (1), makuha namin ang: y = 1+2(x-f), ibig sabihin, y = 2x-1.
Ihambing ang resulta na ito sa nakuha sa halimbawa 2 mula sa § 33. Natural, ang parehong bagay ang nangyari.
Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = tan x sa pinanggalingan. Meron kami: 
nangangahulugan ito ng cos x f"(0) = 1. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 sa equation (1), makuha namin ang: y = x.
Iyon ang dahilan kung bakit iginuhit namin ang tangentoid sa § 15 (tingnan ang Fig. 62) sa pamamagitan ng pinagmulan ng mga coordinate sa isang anggulo na 45° sa abscissa axis.
Sapat na paglutas ng mga ito mga simpleng halimbawa, talagang gumamit kami ng isang tiyak na algorithm, na nakapaloob sa formula (1). Gawin nating tahasan ang algorithm na ito.
ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION PARA SA TANGENT SA GRAPH NG FUNCTION y = f(x)
1) Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2) Kalkulahin ang 1 (a).
3) Hanapin ang f"(x) at kalkulahin ang f"(a).
4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), (a) sa formula (1).
Halimbawa 1. Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong x = 1.
Gamitin natin ang algorithm, isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito
Sa Fig. 126 ang isang hyperbola ay inilalarawan, isang tuwid na linya y = 2 ay binuo.
Kinukumpirma ng drawing ang mga kalkulasyon sa itaas: sa katunayan, ang linyang y = 2 ay tumatama sa hyperbola sa punto (1; 1).
Sagot: y = 2- x.
Halimbawa 2. Gumuhit ng tangent sa graph ng function upang ito ay parallel sa linyang y = 4x - 5.
Linawin natin ang pagbabalangkas ng problema. Ang pangangailangan na "gumuhit ng tangent" ay karaniwang nangangahulugang "upang bumuo ng isang equation para sa tangent." Ito ay lohikal, dahil kung ang isang tao ay nakagawa ng isang equation para sa isang tangent, kung gayon siya ay malamang na hindi nahihirapan sa pagbuo ng isang tuwid na linya sa coordinate plane gamit ang equation nito.
Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito Ngunit, hindi katulad ng nakaraang halimbawa, mayroong kalabuan: ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig.
Magsimula tayong mag-isip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na parallel sa tuwid na linya y = 4x-5. Dalawang linya ay parallel kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga slope. Nangangahulugan ito na ang angular coefficient ng tangent ay dapat na katumbas ng angular coefficient ng ibinigay na tuwid na linya: 
Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation na f"(a) = 4.
Meron kami: 
Mula sa equation Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: ang isa sa punto na may abscissa 2, ang isa sa punto na may abscissa -2.
Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.
Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 1) gumuhit ng tangent sa graph ng function
Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito, Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, sinusunod namin ang algorithm.
Sa pamamagitan ng kondisyon, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 1). Ang pagpapalit ng mga halaga x = 0, y = 1 sa equation (2), makuha namin: 
Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, tanging sa ika-apat na hakbang ng algorithm ay nagawa naming mahanap ang abscissa ng tangent point. Ang pagpapalit ng halaga a =4 sa equation (2), makuha natin ang:
Sa Fig. Ang 127 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: ang isang graph ng function ay naka-plot
Sa § 32 nabanggit namin na para sa isang function na y = f(x), na mayroong derivative sa isang fixed point x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto:
Para sa kaginhawaan ng karagdagang pangangatwiran, baguhin natin ang notasyon: sa halip na x ay isusulat natin ang a, sa halip na isusulat natin ang x at, nang naaayon, sa halip na isusulat natin ang x-a. Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:
Ngayon tingnan ang fig. 128. Ang isang tangent ay iginuhit sa graph ng function na y = f(x) sa punto M (a; f (a)). Ang puntong x ay minarkahan sa x-axis na malapit sa a. Malinaw na ang f(x) ay ang ordinate ng graph ng function sa tinukoy na punto x. Ano ang f(a) + f"(a) (x-a)? Ito ang ordinate ng tangent na tumutugma sa parehong punto x - tingnan ang formula (1). Ano ang kahulugan ng tinatayang pagkakapantay-pantay (3)? Ang katotohanan na Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng function, kunin ang ordinate value ng tangent.
Halimbawa 4. Hanapin ang tinatayang halaga ng numerical expression 1.02 7.
Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 7 sa puntong x = 1.02. Gamitin natin ang formula (3), na isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito
Bilang resulta, nakukuha namin ang:
Kung gumagamit tayo ng calculator, makakakuha tayo ng: 1.02 7 = 1.148685667...
Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.
Sagot: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algebra ika-10 baitang
Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Mathematics at school download
Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin frame ng suporta pamamaraan ng pagpabilis ng presentasyon ng aralin interactive na teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga tanong na retorika mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo sa loob ng isang taon mga alituntunin mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin
