§ 1 Algorithm para sa paglutas ng modular linear inequality gamit ang mga graph
Sa araling ito matututunan natin kung paano bumuo ng mga graph ng modular linear function, kilalanin natin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear modular inequalities gamit ang mga graph at pag-aralan ang mga halimbawa ng paglutas ng modular linear inequalities sa graphical na paraan.
Alalahanin natin ang analytical na kahulugan ng isang modulus: ang modulus ng isang numero a ay ang bilang a mismo kung ito ay hindi negatibo at ang kabaligtaran ng bilang a kung ito ay negatibo.
Samakatuwid, ang modular function na y = |x| ay magiging isang piecewise linear function, dahil ang mga bahagi nito ay dalawang linear function na y = x at y = -x, na tinukoy sa x ≥ 0 at x< 0 соответственно. Графиком этой функции являются два луча, образующие угол с вершиной в начале координат, проходящие через точки (-1; 1) и (1; 1).
Isaalang-alang ang linear modular inequality |x- р| > q.
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring maglaman ng hindi lamang isang mas malaki kaysa sa senyales, kundi pati na rin sa isang mas mababa sa senyales, hindi hihigit o hindi bababa.
Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa graphical na paraan. Upang gawin ito kailangan mo:
1. Sa isang coordinate system, bumuo ng mga graph ng mga function na y = |x - p| at y = q. Graph y = |x- p| ay isang anggulo na may vertex sa punto (p; 0) at ang mga gilid y = x - p at y = -x + p, nakadirekta paitaas, dahil walang sign sa harap ng module, na nangangahulugang "+" tanda ay ipinahiwatig. Kung may “-” sign sa harap ng module, ang mga gilid ng sulok ay dapat na nakadirekta pababa.
2. Piliin ang bahaging iyon ng graph na tumutugma sa inequality sign: sa inequality
|x-p| > q sign ay mas malaki, dapat nating maunawaan na ang mga punto ng graph ng modular function na y = |x- p| dapat nasa itaas ng graph y = q. Sa kasong ito at sa lahat ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang punto ng intersection ng mga graph ay hindi kasama sa domain ng solusyon. Ang maluwag na hindi pagkakapantay-pantay na mga palatandaan ay nagpapahiwatig ng pagsasama ng intersection point ng mga graph sa solusyon na domain ng modular inequality.
3. Ang solusyon sa orihinal na modular inequality ay ang lahat ng abscissas ng mga puntos, iyon ay, ang mga x value ng napiling lugar ng graph.
§ 2 Mga halimbawa ng paglutas ng mga modular linear na hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko
Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga modular linear inequalities gamit ang mga graph.
HALIMBAWA 1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x + 3| ≤ 5 gamit ang mga graph.
Hakbang 1. Sa isang coordinate system, gagawa tayo ng mga graph ng mga function na y = |x + 3| at y = 5. Ang graph ng isang modular linear function ay isang anggulo na may vertex sa punto (-3;0) at mga gilid y = x + 3 at y = -x - 3. Ang graph ng isang constant linear function na y Ang = 5 ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis na Ox at dumadaan sa punto (0; 5).
Hakbang 2. Sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay wala nang isang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, nangangahulugan ito na sa graph ay kinakailangan upang i-highlight ang mga punto ng intersection ng mga graph at ang bahagi ng anggulo na matatagpuan sa ibaba ng tuwid na linya.
Hakbang 3. Alamin natin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, nakita namin ang lahat ng abscissas ng mga puntos sa napiling lugar ng graph. Nalaman namin na ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga halaga ng x na kabilang sa segment mula -8 hanggang 2 kasama. Sagot: -8 ≤ x ≤ 2.
HALIMBAWA 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |5 - 2x| > - 3 gamit ang mga graph.
Bawasan natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyong |x - p| > q. Upang gawin ito, hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng modulus ng numero -2. Nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay |x - 2.5| > -1.5. Ngayon, hakbang-hakbang na isagawa natin ang mga hakbang ng algorithm para sa paglutas ng modular na hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko.
1 hakbang. Sa isang coordinate system gagawa tayo ng mga graph ng mga function y = |x - 2.5| at y = -1.5. Ang graph ng isang modular linear function ay isang anggulo na may vertex nito sa punto (2.5; 0) at mga gilid na y = x - 2.5 at y = 2.5 - x, na nakadirekta paitaas. Ang graph na y = - 1.5 ay isang tuwid na linya parallel sa x-axis Ox at dumadaan sa punto (0; - 1.5).
Hakbang 2. Sa hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang mas malaking palatandaan, nangangahulugan ito na sa graph ay kinakailangan upang i-highlight ang bahaging iyon ng anggulo na matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, hindi kasama ang mga punto ng intersection ng mga graph.
Hakbang 3. Ipinapakita ng drawing na walang intersection point ng mga graph, at ang buong graph ng modular function ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga punto ng anggulo ay isasama sa napiling lugar para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay anumang tunay na numero. Sa matematika, ang pahayag na ito ay ginagaya sa simbolikong notasyon: x ay kabilang sa R. Sagot: x∊ R
HALIMBAWA 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay -|5x -10|< - 17 с помощью графиков.
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malulutas sa dalawang paraan. Ang unang lansihin: i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa -1, hindi nakakalimutang baguhin ang mas kaunting tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran na mas malaking tanda, at pagkatapos ay ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay |5x - 10| > 17 malutas ayon sa mga halimbawang tinalakay sa itaas. Ang pangalawang pamamaraan: hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ng numero 5 at maglapat ng algorithm para sa paglutas ng modular linear inequality ng form |x - p|< q. Решим неравенства вторым приёмом. Поделив обе части исходного неравенства на |5|, имеем -|x - 2| < - 3,4. Теперь выполним первый шаг алгоритма решения.
1 hakbang. Sa isang coordinate system gagawa tayo ng mga graph ng mga function y = -|x - 2| at y = - 3.4. Ang graph ng modular linear function na y = -|x- 2| ay isang anggulo na may vertex sa punto (2; 0) at ang mga gilid na y = x - 2 at y = 2 - x ay nakadirekta pababa, dahil ang module ay pinangungunahan ng minus sign. Ang graph ng isang pare-parehong linear function ay ang tuwid na linya y = - 3.4.
Hakbang 2. I-highlight natin sa graph ang bahagi ng anggulo na matatagpuan sa ibaba ng tuwid na linya, hindi kasama ang mga punto ng intersection ng mga graph, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng mas mababa sa sign.
Hakbang 3. Tukuyin natin ang abscissa ng mga punto ng napiling bahagi ng graph ng modular linear function. Kaya, ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay dalawang bukas na sinag na mas mababa sa -1.4 at mas malaki sa 5.4. Sagot: x ∊ (-∞;-1.4) ∪ (5.4; +∞).
Sa araling ito, ipinakilala sa amin ang algorithm para sa paglutas ng mga modular linear inequalities gamit ang mga graph at tumingin sa mga halimbawa ng paglutas ng modular linear inequalities nang grapiko.
Listahan ng ginamit na panitikan:
Ngayon ay mauunawaan mo na kung paano nalulutas ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga ito ay ang paggamit ng mga katumbas na pagbabagong-anyo na nagpapahintulot sa isa na makarating sa a≠0 hanggang hindi pagkakapantay-pantay sa elementarya uri x
, ≥), p - isang tiyak na numero, na kung saan ay ang nais na solusyon, at para sa a=0 - sa mga numerical inequalities ng form a
, ≥), kung saan nakuha ang isang konklusyon tungkol sa solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Pag-aaralan muna natin.
Hindi rin masakit na tingnan ang paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable mula sa ibang mga pananaw. Samakatuwid, ipapakita rin namin kung paano malulutas ang linear inequality sa graphically at gamit ang interval method.
Kailangan nating lutasin ang linear inequality a x+b<0 (≤, >, ≥). Ipakita natin kung paano ito gagawin gamit ang mga katumbas na pagbabagong hindi pagkakapantay-pantay.
Nag-iiba ang mga approach depende sa kung ang coefficient a ng variable x ay katumbas o hindi katumbas ng zero. Tingnan natin sila isa-isa. Bukod dito, kapag isinasaalang-alang, susundin namin ang isang three-point scheme: una naming ibibigay ang kakanyahan ng proseso, pagkatapos ay magbibigay kami ng isang algorithm para sa paglutas ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay, at sa wakas, magbibigay kami ng mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa.
Magsimula tayo sa algorithm para sa paglutas ng linear inequality a x+b<0 (≤, >, ≥) para sa a≠0.
Ito ay nananatiling maunawaan ang aplikasyon ng inihayag na algorithm gamit ang mga halimbawa. Isaalang-alang natin kung paano ito magagamit upang malutas ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay para sa a≠0.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 3·x+12≤0.
Solusyon.
Para sa isang naibigay na linear inequality mayroon kaming a=3 at b=12. Malinaw, ang koepisyent a para sa variable na x ay iba sa zero. Gamitin natin ang katumbas na algorithm ng solusyon na ibinigay sa itaas.
Una, inililipat namin ang terminong 12 sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, hindi nalilimutang baguhin ang tanda nito, iyon ay, lilitaw ang −12 sa kanang bahagi. Bilang resulta, nakarating tayo sa katumbas na hindi pagkakapantay-pantay na 3·x≤−12.
At, pangalawa, hinahati natin ang magkabilang panig ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa 3, dahil ang 3 ay isang positibong numero, hindi natin binabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Mayroon kaming (3 x):3≤(−12):3, na kapareho ng x≤−4.
Ang nagreresultang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay x≤−4 ay katumbas ng orihinal na linear na hindi pagkakapantay-pantay at ang nais nitong solusyon.
Kaya, ang solusyon sa linear inequality 3 x + 12≤0 ay anumang tunay na numero na mas mababa sa o katumbas ng minus apat. Ang sagot ay maaari ding isulat sa anyo ng isang numerical interval na tumutugma sa hindi pagkakapantay-pantay x≤−4, iyon ay, bilang (−∞, −4] .
Ang pagkakaroon ng nakuha na kasanayan sa pagtatrabaho sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga solusyon ay maaaring maisulat sa madaling sabi nang walang paliwanag. Sa kasong ito, isulat muna ang orihinal na linear inequality, at sa ibaba - katumbas na hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa bawat hakbang ng solusyon:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .
Sagot:
x≤−4 o (−∞, −4] .
Halimbawa.
Ilista ang lahat ng solusyon sa linear inequality −2.7·z>0.
Solusyon.
Dito ang coefficient a para sa variable na z ay katumbas ng −2.7. At ang koepisyent b ay wala sa tahasang anyo, iyon ay, ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang unang hakbang ng algorithm para sa paglutas ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ay hindi kailangang isagawa, dahil ang paglipat ng isang zero mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanan ay hindi magbabago sa anyo ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Ito ay nananatiling hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng −2.7, hindi nalilimutang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran, dahil ang −2.7 ay isang negatibong numero. Meron kami (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , at pagkatapos ay z<0 .
At ngayon sa madaling sabi:
−2.7·z>0 ;
z<0
.
Sagot:
z<0 или (−∞, 0) .
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
.
Solusyon.
Kailangan nating lutasin ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay na may coefficient a para sa variable na x katumbas ng −5, at may coefficient b, na tumutugma sa fraction −15/22. Nagpapatuloy kami ayon sa kilalang pamamaraan: inilipat muna namin ang −15/22 sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, pagkatapos ay hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa negatibong numero −5, habang binabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay: 
Ang huling paglipat sa kanang bahagi ay gumagamit 
, pagkatapos ay pinaandar 
.
Sagot:
Ngayon ay lumipat tayo sa kaso kapag a=0. Ang prinsipyo ng paglutas ng linear inequality a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
Ano ito batay sa? Napakasimple: sa pagtukoy ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Paano? Oo, narito kung paano: kahit na anong halaga ng variable x ang palitan natin sa orihinal na linear inequality, makakakuha tayo ng numerical inequality ng form b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Bumuo tayo ng mga argumento sa itaas sa anyo algorithm para sa paglutas ng mga linear inequalities 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :
Ngayon ay unawain natin ito gamit ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 0·x+7>0.
Solusyon.
Para sa anumang halaga ng variable x, ang linear inequality 0 x+7>0 ay magiging numerical inequality 7>0. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang anumang numero ay isang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Sagot:
ang solusyon ay anumang numero o (−∞, +∞) .
Halimbawa.
May mga solusyon ba ang linear inequality 0·x−12.7≥0?
Solusyon.
Kung papalitan natin ang anumang numero sa halip na ang variable na x, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magiging isang numerical inequality −12.7≥0, na hindi tama. Nangangahulugan ito na hindi isang solong numero ang solusyon sa linear inequality 0·x−12.7≥0.
Sagot:
hindi, hindi.
Upang tapusin ang seksyong ito, susuriin namin ang mga solusyon sa dalawang linear na hindi pagkakapantay-pantay, na ang parehong mga coefficient ay katumbas ng zero.
Halimbawa.
Alin sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay 0·x+0>0 at 0·x+0≥0 ang walang solusyon, at alin ang may walang katapusang maraming solusyon?
Solusyon.
Kung papalitan mo ang anumang numero sa halip na ang variable na x, ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo na 0>0, at ang pangalawa - 0≥0. Ang una sa kanila ay mali, at ang pangalawa ay tama. Dahil dito, ang linear inequality 0·x+0>0 ay walang mga solusyon, at ang inequality 0·x+0≥0 ay may walang katapusang maraming solusyon, ibig sabihin, ang solusyon nito ay anumang numero.
Sagot:
ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x+0>0 ay walang mga solusyon, at ang hindi pagkakapantay-pantay na 0 x+0≥0 ay may walang katapusang maraming solusyon.
Sa pangkalahatan, ang paraan ng mga agwat ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan sa ibang pagkakataon kaysa sa paksa ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable. Ngunit ang paraan ng agwat ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay, kabilang ang mga linear. Samakatuwid, pag-isipan natin ito.
Tandaan natin kaagad na ipinapayong gamitin ang paraan ng pagitan upang malutas ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang non-zero coefficient para sa variable na x. Kung hindi, mas mabilis at mas maginhawang gumawa ng konklusyon tungkol sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang pamamaraang tinalakay sa dulo ng nakaraang talata.
Ang paraan ng pagitan ay nagpapahiwatig
Ipunin natin ang mga sandaling ito algorithm, na nagpapakita kung paano lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay a x+b<0 (≤, >, ≥) para sa a≠0 gamit ang interval method:
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paglutas ng linear inequality gamit ang interval method.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay −3·x+12>0.
Solusyon.
Dahil sinusuri namin ang paraan ng pagitan, gagamitin namin ito. Ayon sa algorithm, una nating mahanap ang ugat ng equation na −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Susunod, gumuhit kami ng isang linya ng coordinate at markahan ang isang punto dito na may coordinate 4, at ginagawa namin ang puntong ito na mabutas, dahil nilulutas namin ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay: 
Ngayon ay tinutukoy namin ang mga palatandaan sa mga pagitan. Upang matukoy ang tanda sa pagitan (−∞, 4), maaari mong kalkulahin ang halaga ng function na y=−3·x+12, halimbawa, sa x=3. Mayroon kaming −3·3+12=3>0, na nangangahulugang mayroong + sign sa pagitan na ito. Upang matukoy ang tanda sa isa pang pagitan (4, +∞), maaari mong kalkulahin ang halaga ng function na y=−3 x+12, halimbawa, sa puntong x=5. Mayroon kaming −3·5+12=−3<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa > sign, gumuhit kami ng shading sa ibabaw ng puwang na may + sign, ang pagguhit ay nasa anyo 
Batay sa nagresultang imahe, napagpasyahan namin na ang nais na solusyon ay (−∞, 4) o sa ibang notasyon x<4 .
Sagot:
(−∞, 4) o x<4 .
Kapaki-pakinabang na magkaroon ng pag-unawa sa geometric na interpretasyon ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable. Upang makuha ito, isaalang-alang natin ang apat na linear na hindi pagkakapantay-pantay na may parehong kaliwang bahagi: 0.5 x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0 at 0.5 x−1≥0 , ang kanilang mga solusyon ay x<2
, x≤2
, x>2 at x≥2, at gumuhit din ng graph ng linear function na y=0.5 x−1. 
Madaling mapansin iyon
Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, sa partikular na linear, at nagpapahiwatig ng paghahanap ng mga pagitan kung saan ang graph ng function na tumutugma sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa itaas, sa ibaba, hindi sa ibaba o hindi sa itaas ng graph ng function na tumutugma sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ng linear inequality, ang function na naaayon sa kaliwang bahagi ay y=a·x+b, at ang kanang bahagi ay y=0, na kasabay ng Ox axis.
Dahil sa ibinigay na impormasyon, madali itong bumalangkas algorithm para sa paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko:
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
graphically.
Solusyon.
Mag-sketch tayo ng graph ng isang linear function 
. Ito ay isang tuwid na linya na bumababa, dahil ang koepisyent ng x ay negatibo. Kailangan din natin ang coordinate ng punto ng intersection nito sa x-axis, ito ang ugat ng equation 
, na katumbas ng . Para sa aming mga pangangailangan, hindi na namin kailangang ilarawan ang Oy axis. Kaya ang aming schematic drawing ay magiging ganito 
Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay na may > sign, interesado kami sa pagitan kung saan ang graph ng function ay nasa itaas ng Ox axis. Para sa kalinawan, i-highlight natin ang bahaging ito ng graph sa pula, at upang madaling matukoy ang pagitan na tumutugma sa bahaging ito, i-highlight natin sa pula ang bahagi ng coordinate plane kung saan matatagpuan ang napiling bahagi ng graph, tulad ng sa figure sa ibaba: 
Ang puwang na interesado kami ay ang bahagi ng axis ng Ox na naka-highlight sa pula. Malinaw na ito ay isang bukas na sinag ng numero 
. Ito ang solusyon na hinahanap namin. Tandaan na kung nilulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay hindi sa sign >, ngunit sa sign ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ≥, kailangan nating idagdag sa sagot, dahil sa puntong ito ang graph ng function coincides with the Ox axis .y=0·x+7, which is the same as y=7, defines a straight line on the coordinate plane parallel to the Ox axis and lying above it. Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
At ang graph ng function na y=0·x+0, na kapareho ng y=0, ay isang tuwid na linya na tumutugma sa axis ng Ox. Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 0·x+0≥0 ay ang set ng lahat ng tunay na numero.
Sagot:
pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon nito ay anumang tunay na numero.
Ang isang malaking bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mapalitan ng mga katumbas na linear na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga katumbas na pagbabagong-anyo, sa madaling salita, nabawasan sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa linear.
Sa paaralan, halos kasabay ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa mga linear ay isinasaalang-alang din. Ang mga ito ay mga espesyal na kaso buong hindi pagkakapantay-pantay, lalo na sa kanilang kaliwa at kanang bahagi ay may mga buong expression na kumakatawan sa o linear binomials, o na-convert sa kanila ni at . Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng ilang halimbawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, 
.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na kapareho ng anyo sa mga nakasaad sa itaas ay maaaring palaging bawasan sa mga linear. Magagawa ito sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga panaklong, pagdadala ng mga katulad na termino, muling pagsasaayos ng mga termino, at paglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda.
Halimbawa, upang bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay na 5−2 x>0 sa linear, sapat na upang muling ayusin ang mga termino sa kaliwang bahagi nito, mayroon tayong −2 x+5>0. Upang bawasan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay 7·(x−1)+3≤4·x−2+x sa linear, kailangan mo ng kaunti pang hakbang: sa kaliwang bahagi ay binubuksan namin ang mga bracket 7·x−7+3≤4· x−2+x , pagkatapos Upang makamit ito, ipinapakita namin ang magkatulad na termino sa magkabilang panig 7 x−4≤5 x−2 , pagkatapos ay inililipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi 7 x−4−5 x+2 ≤0 , sa wakas, ipinapakita namin ang mga katulad na termino sa kaliwang bahagi 2 ·x−2≤0 . Katulad nito, ang ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bawasan sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay.
Dahil sa katotohanan na ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring palaging bawasan sa mga linear, ang ilang mga may-akda ay tinatawag din silang linear. Ngunit isasaalang-alang pa rin natin ang mga ito na mababawasan sa linear.
Ngayon ay nagiging malinaw na kung bakit ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang kasama ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. At ang prinsipyo ng kanilang solusyon ay ganap na pareho: sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, maaari silang mabawasan sa elementarya na hindi pagkakapantay-pantay, na siyang mga nais na solusyon.
Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri, maaari mo munang bawasan ito sa isang linear, at pagkatapos ay lutasin ang linear na hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ngunit mas makatwiran at maginhawang gawin ito:
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.
Solusyon.
Una, buksan natin ang mga bracket, bilang isang resulta ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Ngayon bigyan natin ng magkatulad na termino: 6 x+15≤6 x−17 . Susunod na ilipat namin ang mga tuntunin mula sa kaliwang bahagi, nakakakuha tayo ng 6 x+15−6 x+17≤0, at muli tayong nagdadala ng mga katulad na termino (na humahantong sa atin sa linear inequality 0 x+32≤0) at mayroon tayong 32≤0. Ito ay kung paano kami dumating sa isang hindi tamang numerical inequality, kung saan napagpasyahan namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.
Sagot:
walang solusyon.
Sa konklusyon, tandaan namin na maraming iba pang mga hindi pagkakapantay-pantay na maaaring bawasan sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, o sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng uri na isinasaalang-alang sa itaas. Halimbawa, ang solusyon exponential inequality Ang 5 2 x−1 ≥1 ay bumababa sa paglutas ng linear inequality 2 x−1≥0 . Ngunit pag-uusapan natin ito kapag pinag-aaralan ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng kaukulang anyo.
Bibliograpiya.
Ang isa sa mga pinaka-maginhawang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic inequalities ay ang graphical na pamamaraan. Sa artikulong ito, titingnan natin kung paano nalulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na parisukat sa graphical na paraan. Una, talakayin natin kung ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito. Susunod, ipapakita namin ang algorithm at isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga parisukat na hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko.
Pag-navigate sa pahina.
Sa lahat graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable ay ginagamit hindi lamang upang malutas ang mga quadratic inequalities, kundi pati na rin ang iba pang mga uri ng inequalities. Ang kakanyahan ng graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay susunod: isaalang-alang ang mga function na y=f(x) at y=g(x), na tumutugma sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, buuin ang kanilang mga graph sa isang rectangular coordinate system at alamin kung anong pagitan ang graph ng isa sa ang mga ito ay mas mababa o mas mataas kaysa sa iba. Yung mga interval kung saan
Sasabihin din natin na ang mga abscissas ng mga intersection point ng mga graph ng mga function na f at g ay mga solusyon sa equation f(x)=g(x) .
Ilipat natin ang mga resultang ito sa ating kaso - upang malutas ang quadratic inequality a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).
Ipinakilala namin ang dalawang function: ang unang y=a x 2 +b x+c (na may f(x)=a x 2 +b x+c) na tumutugma sa kaliwang bahagi ng quadratic inequality, ang pangalawang y=0 (na may g ( x)=0 ) ay tumutugma sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Iskedyul quadratic function f ay isang parabola at ang graph patuloy na pag-andar g – tuwid na linya na tumutugma sa abscissa axis Ox.
Susunod, ayon sa graphical na paraan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang pag-aralan kung anong mga pagitan ang graph ng isang function ay matatagpuan sa itaas o sa ibaba ng isa pa, na magpapahintulot sa amin na isulat ang nais na solusyon sa quadratic inequality. Sa aming kaso, kailangan naming pag-aralan ang posisyon ng parabola na may kaugnayan sa axis ng Ox.
Depende sa mga halaga ng mga coefficients a, b at c, ang sumusunod na anim na pagpipilian ay posible (para sa aming mga pangangailangan, isang eskematiko na representasyon ay sapat, at hindi namin kailangang ilarawan ang Oy axis, dahil ang posisyon nito ay hindi nakakaapekto sa mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay):
Sa pagguhit na ito ay nakikita natin ang isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, at kung saan nagsa-intersect ang Ox axis sa dalawang punto, ang abscissa nito ay x 1 at x 2. Ang pagguhit na ito ay tumutugma sa opsyon kapag ang koepisyent a ay positibo (ito ay responsable para sa pataas na direksyon ng mga sanga ng parabola), at kapag ang halaga ay positibo. discriminant ng isang quadratic trinomial a x 2 +b x+c (sa kasong ito, ang trinomial ay may dalawang ugat, na tinukoy namin bilang x 1 at x 2, at ipinapalagay namin na x 1
Para sa kalinawan, ilarawan natin sa pula ang mga bahagi ng parabola na matatagpuan sa itaas ng x-axis, at sa asul - ang mga nasa ibaba ng x-axis. 
Ngayon, alamin natin kung aling mga pagitan ang tumutugma sa mga bahaging ito. Ang sumusunod na pagguhit ay makakatulong sa iyo na makilala ang mga ito (sa hinaharap ay gagawa kami ng mga katulad na pagpipilian sa anyo ng mga parihaba sa pag-iisip): 
Kaya sa abscissa axis dalawang pagitan (−∞, x 1) at (x 2 , +∞) ay naka-highlight sa pula, sa kanila ang parabola ay nasa itaas ng Ox axis, sila ay bumubuo ng solusyon sa quadratic inequality a x 2 +b x +c>0 , at ang pagitan (x 1 , x 2) ay naka-highlight sa asul, mayroong isang parabola sa ibaba ng Ox axis, ito ay kumakatawan sa solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .
At ngayon sandali: para sa a>0 at D=b 2 −4 a c>0 (o D"=D/4>0 para sa pantay na koepisyent b)
kung saan ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic trinomial a x 2 +b x+c, at x 1 Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita na ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis sa lahat ng dako maliban sa punto ng contact, iyon ay, sa mga pagitan (−∞, x 0), (x 0, ∞). Para sa kalinawan, i-highlight natin ang mga lugar sa pagguhit sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang talata. Gumagawa kami ng mga konklusyon: para sa a>0 at D=0 kung saan ang x 0 ay ang ugat ng square trinomial a x 2 + b x + c. Malinaw, ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis sa buong haba nito (walang mga agwat kung saan ito ay nasa ibaba ng Ox axis, walang punto ng tangency). Kaya, para sa a>0 at D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 at a x 2 +b x+c≥0 ay ang set ng lahat ng tunay na numero, at ang hindi pagkakapantay-pantay a x 2 +b x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений.
Dito nakikita natin ang isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta pataas, at kung saan ay humipo sa abscissa axis, iyon ay, ito ay may isang karaniwang punto kasama nito, tinutukoy natin ang abscissa ng puntong ito bilang x 0. Ang ipinakita na kaso ay tumutugma sa a>0 (ang mga sanga ay nakadirekta paitaas) at D=0 (ang square trinomial ay may isang ugat x 0). Halimbawa, maaari mong kunin quadratic function y=x 2 −4·x+4, dito a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 at x 0 =2.
Sa kasong ito, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at wala itong mga karaniwang punto sa abscissa axis. Narito mayroon kaming mga kundisyon a>0 (ang mga sanga ay nakadirekta pataas) at D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
At may nananatiling tatlong mga pagpipilian para sa lokasyon ng parabola na may mga sanga na nakadirekta pababa, hindi pataas, na nauugnay sa axis ng Ox. Sa prinsipyo, hindi sila kailangang isaalang-alang, dahil ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1 ay nagpapahintulot sa amin na pumunta sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay na may positibong koepisyent para sa x 2. Ngunit hindi pa rin masakit na makakuha ng ideya tungkol sa mga kasong ito. Ang pangangatwiran dito ay magkatulad, kaya isusulat lamang namin ang mga pangunahing resulta.
Ang resulta ng lahat ng nakaraang mga kalkulasyon ay algorithm para sa paglutas ng mga quadratic inequalities sa graphically:
Ang isang schematic drawing ay ginawa sa coordinate plane, na naglalarawan sa Ox axis (hindi kinakailangang ilarawan ang Oy axis) at isang sketch ng isang parabola na tumutugma sa quadratic function na y=a·x 2 +b·x+c. Upang gumuhit ng isang sketch ng isang parabola, sapat na upang linawin ang dalawang puntos:
Kapag handa na ang pagguhit, gamitin ito sa ikalawang hakbang ng algorithm
Binubuo nila ang nais na solusyon sa quadratic inequality, at kung walang ganoong mga pagitan at walang mga punto ng tangency, kung gayon ang orihinal na quadratic inequality ay walang mga solusyon.
Ang natitira na lang ay upang malutas ang ilang mga quadratic inequalities gamit ang algorithm na ito.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
.
Solusyon.
Kailangan nating lutasin ang isang quadratic inequality, gamitin natin ang algorithm mula sa nakaraang talata. Sa unang hakbang kailangan nating i-sketch ang graph ng quadratic function 
. Ang koepisyent ng x 2 ay katumbas ng 2, ito ay positibo, samakatuwid, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas. Alamin din natin kung ang parabola ay may mga karaniwang puntos na may x-axis; 
. Meron kami 
. Ang discriminant ay naging mas malaki sa zero, samakatuwid ang trinomial ay may dalawang tunay na ugat: 
At 
, ibig sabihin, x 1 =−3 at x 2 =1/3.
Mula dito ay malinaw na ang parabola ay sumasalubong sa Ox axis sa dalawang punto na may abscissas −3 at 1/3. Ipapakita namin ang mga puntong ito sa pagguhit bilang mga ordinaryong puntos, dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Batay sa nilinaw na data, nakuha namin ang sumusunod na pagguhit (ito ay umaangkop sa unang template mula sa unang talata ng artikulo): 
Lumipat tayo sa pangalawang hakbang ng algorithm. Dahil nilulutas natin ang isang hindi mahigpit na quadratic inequality na may sign na ≤, kailangan nating matukoy ang mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa ibaba ng abscissa at idagdag sa kanila ang mga abscissas ng mga intersection point. 
Mula sa pagguhit ay malinaw na ang parabola ay nasa ibaba ng x-axis sa pagitan (−3, 1/3) at dito idinagdag namin ang mga abscissas ng mga intersection point, iyon ay, ang mga numero −3 at 1/3. Bilang resulta, nakarating tayo sa numerical interval [−3, 1/3] . Ito ang solusyon na hinahanap namin. Maaari itong isulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay −3≤x≤1/3.
Sagot:
[−3, 1/3] o −3≤x≤1/3 .
Halimbawa.
Hanapin ang solusyon sa quadratic inequality −x 2 +16 x−63<0 .
Solusyon.
Gaya ng dati, nagsisimula kami sa pagguhit. Ang numerical coefficient para sa square ng variable ay negatibo, −1, samakatuwid, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa. Kalkulahin natin ang discriminant, o mas mabuti pa, ang ikaapat na bahagi nito: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Ang halaga nito ay positibo, kalkulahin natin ang mga ugat ng square trinomial: 
At 
, x 1 =7 at x 2 =9. Kaya't ang parabola ay nag-intersect sa Ox axis sa dalawang punto na may abscissas 7 at 9 (ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kaya't ilarawan namin ang mga puntong ito na may isang walang laman na sentro. 
Dahil nilulutas namin ang isang mahigpit na quadratic inequality na may sign<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:
Ipinapakita ng drawing na ang mga solusyon sa orihinal na quadratic inequality ay dalawang pagitan (−∞, 7) , (9, +∞) .
Sagot:
(−∞, 7)∪(9, +∞) o sa ibang notasyon x<7 , x>9 .
Kapag nilulutas ang mga quadratic inequalities, kapag ang discriminant ng isang quadratic trinomial sa kaliwang bahagi nito ay zero, kailangan mong mag-ingat sa pagsasama o pagbubukod ng abscissa ng tangent point mula sa sagot. Ito ay nakasalalay sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay: kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ito ay hindi isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, ngunit kung ito ay hindi mahigpit, kung gayon ito ay.
Halimbawa.
Mayroon bang hindi bababa sa isang solusyon ang quadratic inequality 10 x 2 −14 x+4.9≤0?
Solusyon.
I-plot natin ang function na y=10 x 2 −14 x+4.9. Ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, dahil ang koepisyent ng x 2 ay positibo, at ito ay humahawak sa abscissa axis sa punto na may abscissa 0.7, dahil D"=(−7) 2 −10 4.9=0, kung saan o 0.7 sa anyo ng isang decimal fraction, ganito ang hitsura: 
Dahil nilulutas natin ang isang quadratic inequality na may ≤ sign, ang solusyon nito ay ang mga pagitan kung saan ang parabola ay nasa ibaba ng Ox axis, pati na rin ang abscissa ng tangent point. Mula sa pagguhit ay malinaw na walang isang solong puwang kung saan ang parabola ay nasa ibaba ng Ox axis, kaya ang solusyon nito ay magiging abscissa lamang ng tangent point, iyon ay, 0.7.
Sagot:
ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may natatanging solusyon 0.7.
Halimbawa.
Lutasin ang quadratic inequality –x 2 +8 x−16<0 .
Solusyon.
Sinusunod namin ang algorithm para sa paglutas ng mga quadratic inequalities at magsimula sa pamamagitan ng pagbuo ng isang graph. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, dahil ang koepisyent ng x 2 ay negatibo, −1. Hanapin natin ang discriminant ng square trinomial –x 2 +8 x−16, mayroon tayong D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 at higit pa x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Kaya, ang parabola ay humipo sa axis ng Ox sa abscissa point 4. Gawin natin ang pagguhit: 
Tinitingnan namin ang palatandaan ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, naroroon ito<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.
Sa aming kaso, ito ay mga bukas na sinag (−∞, 4) , (4, +∞) . Hiwalay, tandaan namin na ang 4 - ang abscissa ng punto ng contact - ay hindi isang solusyon, dahil sa punto ng contact ang parabola ay hindi mas mababa kaysa sa Ox axis.
Sagot:
(−∞, 4)∪(4, +∞) o sa ibang notasyon x≠4 .
Bigyang-pansin ang mga kaso kung saan ang discriminant ng quadratic trinomial sa kaliwang bahagi ng quadratic inequality ay mas mababa sa zero. Hindi na kailangang magmadali dito at sabihin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon (nasanay na tayo sa paggawa ng ganoong konklusyon para sa mga quadratic equation na may negatibong diskriminasyon). Ang punto ay ang quadratic inequality para sa D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.
Halimbawa.
Hanapin ang solusyon sa quadratic inequality 3 x 2 +1>0.
Solusyon.
Gaya ng dati, nagsisimula kami sa pagguhit. Ang koepisyent a ay 3, ito ay positibo, samakatuwid, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas. Kinakalkula namin ang discriminant: D=0 2 −4·3·1=−12 . Dahil ang discriminant ay negatibo, ang parabola ay walang mga karaniwang punto sa Ox axis. Ang impormasyong nakuha ay sapat para sa isang eskematiko na graph: 
Niresolba namin ang isang mahigpit na quadratic inequality na may > sign. Ang solusyon nito ay ang lahat ng mga pagitan kung saan ang parabola ay nasa itaas ng axis ng Ox. Sa aming kaso, ang parabola ay nasa itaas ng x-axis kasama ang buong haba nito, kaya ang nais na solusyon ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.
Ox , at kailangan mo ring idagdag ang abscissa ng mga punto ng intersection o ang abscissa ng tangency sa kanila. Ngunit mula sa pagguhit ay malinaw na nakikita na walang ganoong mga pagitan (dahil ang parabola ay nasa lahat ng dako sa ibaba ng abscissa axis), tulad ng walang mga punto ng intersection, tulad ng walang mga punto ng tangency. Samakatuwid, ang orihinal na quadratic inequality ay walang mga solusyon.
Sagot:
walang solusyon o sa ibang entry ∅.
Bibliograpiya.
Ang graph ng isang linear o quadratic inequality ay binuo sa parehong paraan tulad ng graph ng anumang function (equation). Ang pagkakaiba ay ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na mayroong maraming mga solusyon, kaya ang graph ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi lamang isang punto sa isang linya ng numero o isang linya sa isang coordinate plane. Gamit ang mathematical operations at ang inequality sign, matutukoy mo ang maraming solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, ihiwalay ang variable gamit ang parehong mga algebraic technique na ginagamit mo upang malutas ang anumang equation. Tandaan na kapag nagpaparami o naghahati ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero (o termino), baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Gumuhit ng linya ng numero. Sa linya ng numero, markahan ang halaga na iyong nakita (ang variable ay maaaring mas mababa sa, mas malaki kaysa, o katumbas ng halagang ito). Gumuhit ng numerong linya ng naaangkop na haba (mahaba o maikli).
Gumuhit ng bilog upang kumatawan sa halaga na natagpuan. Kung ang variable ay mas mababa sa ( < {\displaystyle <} ) o higit pang mga ( > (\displaystyle >)) ng halagang ito, hindi napupunan ang bilog dahil hindi kasama sa hanay ng solusyon ang halagang ito. Kung ang variable ay mas mababa sa o katumbas ng ( ≤ (\displaystyle \leq )) o mas malaki kaysa o katumbas ng ( ≥ (\displaystyle \geq )) sa halagang ito, ang bilog ay napunan dahil kasama sa hanay ng solusyon ang halagang ito.
Sa linya ng numero, lilim ang rehiyon na tumutukoy sa hanay ng solusyon. Kung ang variable ay mas malaki kaysa sa halaga na natagpuan, lilim ang lugar sa kanan nito, dahil kasama sa hanay ng solusyon ang lahat ng mga halaga na mas malaki kaysa sa halaga na natagpuan. Kung ang variable ay mas mababa kaysa sa halaga na natagpuan, lilim ang lugar sa kaliwa nito, dahil kasama sa hanay ng solusyon ang lahat ng mga halaga na mas mababa kaysa sa halaga na natagpuan.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (hanapin ang halaga y (\displaystyle y)). Upang makakuha ng linear equation, ihiwalay ang variable sa kaliwang bahagi gamit ang pamilyar na algebraic techniques. Dapat mayroong isang variable sa kanang bahagi x (\displaystyle x) at marahil ilang pare-pareho.
Gumuhit ng graph sa coordinate plane linear equation. gumuhit ng isang graph tulad ng gagawin mo sa isang graph ng anumang linear equation. I-plot ang Y-intercept at pagkatapos ay gamitin ang slope upang i-plot ang iba pang mga punto.
Gumuhit ng isang tuwid na linya. Kung mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay (kasama ang sign < {\displaystyle <} o > (\displaystyle >)), gumuhit ng isang tuldok na linya dahil ang hanay ng solusyon ay hindi kasama ang mga halaga sa linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (kasama ang sign ≤ (\displaystyle \leq ) o ≥ (\displaystyle \geq )), gumuhit ng solidong linya dahil ang hanay ng solusyon ay may kasamang mga halaga na nasa linya.
Lilim ang angkop na lugar. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), lilim ang lugar sa itaas ng linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo y< m x + b {\displaystyle y
Tukuyin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay parisukat. Ang quadratic inequality ay may anyo a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Minsan ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi naglalaman ng isang variable ng unang order ( x (\displaystyle x)) at/o isang libreng termino (constant), ngunit kinakailangang may kasamang pangalawang-order na variable ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Mga variable x (\displaystyle x) At y (\displaystyle y) dapat na ihiwalay sa iba't ibang panig ng hindi pagkakapantay-pantay.
Gumuhit ng graph sa coordinate plane. Upang gawin ito, i-convert ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang equation at i-graph ito gaya ng pag-graph mo ng anumang quadratic equation. Tandaan na ang graph ng isang quadratic equation ay isang parabola.
Unang antas
Maraming mga gawain na nakasanayan nating kalkulahin ang purong algebraically ay maaaring malutas nang mas madali at mas mabilis gamit ang mga function graph ay makakatulong sa amin dito. Sabi mo "paano kaya?" gumuhit ng isang bagay, at ano ang iguguhit? Maniwala ka sa akin, kung minsan ito ay mas maginhawa at mas madali. Magsisimula na ba tayo? Magsimula tayo sa mga equation!
Tulad ng alam mo na, ang graph ng isang linear equation ay isang tuwid na linya, kaya ang pangalan ng ganitong uri. Ang mga linear equation ay medyo madaling lutasin sa algebraically - inililipat namin ang lahat ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, lahat ng alam namin sa isa pa, at voila! Natagpuan namin ang ugat. Ngayon ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin graphically.
Kaya mayroon kang equation:
Paano ito lutasin?
Opsyon 1, at ang pinakakaraniwan ay ang ilipat ang mga hindi alam sa isang tabi at ang mga kilala sa isa pa, nakukuha natin ang:
Ngayon ay bumuo tayo. Ano ang nakuha mo?
Ano sa palagay mo ang ugat ng ating equation? Tama, ang coordinate ng intersection point ng mga graph ay:
Ang sagot namin ay
Iyan ang buong karunungan ng graphic na solusyon. Bilang madali mong suriin, ang ugat ng aming equation ay isang numero!
Tulad ng sinabi ko sa itaas, ito ang pinakakaraniwang opsyon, malapit sa isang algebraic na solusyon, ngunit maaari mo itong lutasin sa ibang paraan. Upang isaalang-alang ang isang alternatibong solusyon, bumalik tayo sa ating equation:
Sa pagkakataong ito, hindi na kami lilipat ng anuman mula sa gilid patungo sa gilid, ngunit gagawa ng mga graph nang direkta, tulad ng mga ito ngayon:
Itinayo? Tingnan natin!
Ano ang solusyon sa pagkakataong ito? Tama iyan. Ang parehong bagay - ang coordinate ng intersection point ng mga graph:
At, muli, ang aming sagot ay.
Tulad ng nakikita mo, sa mga linear equation ang lahat ay napakasimple. Panahon na upang tumingin sa isang bagay na mas kumplikado... Halimbawa, graphical na solusyon ng mga quadratic equation.
Kaya, ngayon simulan natin ang paglutas ng quadratic equation. Sabihin nating kailangan mong hanapin ang mga ugat ng equation na ito:
Siyempre, maaari mo na ngayong simulan ang pagbibilang sa pamamagitan ng discriminant, o ayon sa teorama ni Vieta, ngunit maraming tao, dahil sa nerbiyos, ay nagkakamali sa pagpaparami o pag-square, lalo na kung ang halimbawa ay may malalaking numero, at, tulad ng alam mo, nanalo ka. 't magkaroon ng calculator para sa pagsusulit... Samakatuwid, subukan nating mag-relax ng kaunti at gumuhit habang nilulutas ang equation na ito.
Ang mga solusyon sa equation na ito ay makikita sa grapiko sa iba't ibang paraan. Tingnan natin ang iba't ibang opsyon, at maaari mong piliin kung alin ang pinakagusto mo.
Bumubuo lang kami ng parabola gamit ang equation na ito:
Upang gawin ito nang mabilis, bibigyan kita ng isang maliit na pahiwatig: Ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon sa pamamagitan ng pagtukoy sa vertex ng parabola. Ang mga sumusunod na formula ay makakatulong na matukoy ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola:
Sasabihin mo "Tumigil ka! Ang formula para sa ay halos kapareho sa pormula para sa paghahanap ng discriminant," oo, ito nga, at ito ay isang malaking kawalan ng "direktang" pagbuo ng isang parabola upang mahanap ang mga ugat nito. Gayunpaman, magbilang tayo hanggang sa dulo, at pagkatapos ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin nang mas madali (mas!)
Nagbilang ka ba? Anong mga coordinate ang nakuha mo para sa vertex ng parabola? Sabay nating alamin ito:
Eksaktong parehong sagot? Magaling! At ngayon alam na natin ang mga coordinate ng vertex, ngunit para makabuo ng parabola kailangan natin ng higit pa... puntos. Ilang minimum na puntos sa tingin mo ang kailangan natin? Tama, .
Alam mo na ang isang parabola ay simetriko sa tuktok nito, halimbawa:
Alinsunod dito, kailangan namin ng dalawa pang punto sa kaliwa o kanang sangay ng parabola, at sa hinaharap ay ipapakita namin ang simetriko na mga puntong ito sa kabaligtaran:
Bumalik tayo sa ating parabola. Para sa aming kaso, panahon. Kailangan natin ng dalawa pang puntos, para makuha natin ang mga positibo, o maaari nating kunin ang mga negatibo? Aling mga punto ang mas maginhawa para sa iyo? Mas maginhawa para sa akin na magtrabaho kasama ang mga positibo, kaya kakalkulahin ko sa at.
Ngayon ay mayroon na tayong tatlong puntos, madali nating mabuo ang ating parabola sa pamamagitan ng pagpapakita ng huling dalawang puntos na nauugnay sa tuktok nito:
Ano sa tingin mo ang solusyon sa equation? Iyan ay tama, mga punto kung saan, iyon ay, at. kasi.
At kung sasabihin natin iyan, nangangahulugan ito na dapat ding pantay-pantay, o.
Basta? Natapos na namin ang paglutas ng equation sa iyo sa isang kumplikadong graphical na paraan, o magkakaroon ng higit pa!
Siyempre, maaari mong suriin ang aming sagot sa algebraically - maaari mong kalkulahin ang mga ugat gamit ang Vieta's theorem o Discriminant. Ano ang nakuha mo? Pareho? Dito mo nakikita! Ngayon tingnan natin ang isang napakasimpleng graphic na solusyon, sigurado akong magugustuhan mo ito!
Kunin natin ang ating parehong equation: , ngunit isusulat natin ito nang medyo naiiba, ibig sabihin:
Maaari ba nating isulat ito ng ganito? Kaya natin, dahil ang pagbabago ay katumbas. Tingnan pa natin.
Bumuo tayo ng dalawang function nang hiwalay:
Itinayo? Ihambing natin sa nakuha ko:
Ano sa palagay mo ang mga ugat ng equation sa kasong ito? Tama! Ang mga coordinate na nakuha sa pamamagitan ng intersection ng dalawang graph at, iyon ay:
Alinsunod dito, ang solusyon sa equation na ito ay:
Anong masasabi mo? Sumang-ayon, ang paraan ng solusyon na ito ay mas madali kaysa sa nauna at mas madali kaysa sa paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng isang discriminant! Kung gayon, subukang lutasin ang sumusunod na equation gamit ang paraang ito:
Ano ang nakuha mo? Ihambing natin ang ating mga graph:
Ipinapakita ng mga graph na ang mga sagot ay:
Inayos mo ba? Magaling! Ngayon tingnan natin ang mga equation na medyo mas kumplikado, ibig sabihin, paglutas ng mga mixed equation, iyon ay, mga equation na naglalaman ng mga function ng iba't ibang uri.
Ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod:
Siyempre, maaari mong dalhin ang lahat sa isang karaniwang denominator, hanapin ang mga ugat ng nagresultang equation, nang hindi nalilimutang isaalang-alang ang ODZ, ngunit muli, susubukan naming lutasin ito nang graphical, tulad ng ginawa namin sa lahat ng nakaraang mga kaso.
Sa pagkakataong ito, buuin natin ang sumusunod na 2 graph:
Napagtanto ito? Ngayon simulan ang pagbuo.
Narito ang nakuha ko:
Sa pagtingin sa larawang ito, sabihin sa akin kung ano ang mga ugat ng ating equation?
Tama iyon, at. Narito ang kumpirmasyon:
Subukang isaksak ang aming mga ugat sa equation. Nangyari?
Tama iyan! Sumang-ayon, ang paglutas ng mga naturang equation sa graphical na paraan ay isang kasiyahan!
Subukang lutasin ang equation nang graphical sa iyong sarili:
Bibigyan kita ng pahiwatig: ilipat ang bahagi ng equation sa kanang bahagi upang ang pinakasimpleng mga function na gagawin ay nasa magkabilang panig. Nakuha mo ba ang pahiwatig? Gumawa ng aksyon!
Ngayon tingnan natin kung ano ang nakuha mo:
Ayon sa pagkakabanggit:
Buweno, buuin natin:
Gaya ng isinulat mo noon pa man, ang ugat ng equation na ito ay - .
Ang pagkakaroon ng trabaho sa pamamagitan ng napakaraming bilang ng mga halimbawa, sigurado akong napagtanto mo kung gaano kadali at kabilis ang paglutas ng mga equation nang grapiko. Panahon na upang malaman kung paano lutasin ang mga sistema sa ganitong paraan.
Ang mga graphically solving system ay hindi naiiba sa graphically solving equation. Bubuo din kami ng dalawang graph, at ang kanilang mga intersection point ang magiging ugat ng system na ito. Ang isang graph ay isang equation, ang pangalawang graph ay isa pang equation. Ang lahat ay sobrang simple!
Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.
Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na sistema:
Una, ibahin natin ito upang sa kaliwa ay mayroong lahat ng konektado, at sa kanan - lahat ng bagay na konektado. Sa madaling salita, isulat natin ang mga equation na ito bilang isang function sa ating karaniwang anyo:
Ngayon kami ay bumuo lamang ng dalawang tuwid na linya. Ano ang solusyon sa ating kaso? Tama! Ang punto ng intersection nila! At dito kailangan mong maging napaka, maingat! Isipin mo, bakit? Hayaan akong magbigay sa iyo ng isang pahiwatig: tayo ay nakikitungo sa isang sistema: sa system mayroong pareho, at... Nakuha ang pahiwatig?
Tama iyan! Kapag nilulutas ang isang sistema, dapat nating tingnan ang parehong mga coordinate, at hindi tulad ng paglutas ng mga equation! Ang isa pang mahalagang punto ay isulat ang mga ito nang tama at hindi malito kung saan tayo may kahulugan at kung saan ang kahulugan! Isinulat mo ba ito? Ngayon ihambing natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod:
At ang mga sagot: at. Gumawa ng check - palitan ang mga nahanap na ugat sa system at tiyakin kung nalutas namin ito nang tama sa graphically?
Paano kung, sa halip na isang tuwid na linya, mayroon tayong quadratic equation? ayos lang! Bumuo ka lang ng parabola sa halip na isang tuwid na linya! Hindi naniniwala? Subukang lutasin ang sumusunod na sistema:
Ano ang ating susunod na hakbang? Tama, isulat ito upang maging maginhawa para sa amin na bumuo ng mga graph:
At ngayon ang lahat ay isang bagay ng maliliit na bagay - buuin ito nang mabilis at narito ang iyong solusyon! Kami ay nagtatayo:
Pareho ba ang mga graph? Ngayon markahan ang mga solusyon ng system sa figure at isulat nang tama ang mga natukoy na sagot!
Ginawa ko na lahat? Ikumpara sa aking mga tala:
Tama ba ang lahat? Magaling! Nagagawa mo na ang mga ganitong uri ng mga gawain tulad ng mga mani! Kung gayon, bigyan ka namin ng mas kumplikadong sistema:
Anong gagawin natin? Tama! Isinulat namin ang system upang ito ay maginhawa upang bumuo:
Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig, dahil mukhang napakakomplikado ng system! Kapag gumagawa ng mga graph, buuin ang mga ito "higit pa", at higit sa lahat, huwag magulat sa bilang ng mga intersection point.
Kaya, tayo na! Napabuga ng hangin? Ngayon simulan ang pagbuo!
Kaya paano? maganda? Ilang intersection point ang nakuha mo? Ako ay may tatlong! Ihambing natin ang ating mga graph:
Gayundin? Ngayon maingat na isulat ang lahat ng mga solusyon ng aming system:
Ngayon tingnan muli ang system:
Maaari mo bang isipin na nalutas mo ito sa loob lamang ng 15 minuto? Sumang-ayon, ang matematika ay simple pa rin, lalo na kapag tumitingin sa isang expression hindi ka natatakot na magkamali, ngunit kunin lamang ito at lutasin ito! Ikaw ay isang malaking bata!
Pagkatapos ng huling halimbawa, magagawa mo ang kahit ano! Ngayon huminga - kumpara sa mga nakaraang seksyon, ang isang ito ay magiging napaka, napakadali!
Magsisimula tayo, gaya ng dati, sa isang graphical na solusyon sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, ang isang ito:
Una, gawin natin ang pinakasimpleng pagbabago - buksan ang mga bracket ng perpektong mga parisukat at ipakita ang mga katulad na termino:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kaya hindi ito kasama sa pagitan, at ang solusyon ay ang lahat ng mga punto na nasa kanan, dahil higit pa, higit pa, at iba pa:
Sagot:
Iyon lang! madali? Lutasin natin ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:
Gumuhit tayo ng function sa coordinate system.
Nakakuha ka ba ng ganoong iskedyul? Ngayon tingnan nating mabuti kung anong hindi pagkakapantay-pantay ang mayroon tayo doon? Mas kaunti? Nangangahulugan ito na pinipinta namin ang lahat ng nasa kaliwa ng aming tuwid na linya. Paano kung marami pa? Tama iyon, pagkatapos ay ipinta namin ang lahat ng nasa kanan ng aming tuwid na linya. Simple lang.
Ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nilagyan ng kulay kahel. Iyon lang, nalutas ang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto mula sa may kulay na lugar ay ang mga solusyon.
Ngayon ay mauunawaan natin kung paano graphical na lutasin ang mga quadratic inequalities.
Ngunit bago tayo bumaba sa negosyo, suriin natin ang ilang materyal tungkol sa quadratic function.
Ano ang pananagutan ng discriminant? Tama iyon, para sa posisyon ng graph na nauugnay sa axis (kung hindi mo ito maalala, pagkatapos ay tiyak na basahin ang teorya tungkol sa mga quadratic function).
Sa anumang kaso, narito ang isang maliit na paalala para sa iyo:
Ngayong na-refresh na natin ang lahat ng materyal sa ating memorya, mag-negosyo tayo - lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa graphical na paraan.
Sasabihin ko kaagad sa iyo na mayroong dalawang pagpipilian para sa paglutas nito.
Isinulat namin ang aming parabola bilang isang function:
Gamit ang mga formula, tinutukoy namin ang mga coordinate ng vertex ng parabola (eksaktong kapareho ng kapag nilulutas ang mga quadratic equation):
Nagbilang ka ba? Ano ang nakuha mo?
Ngayon ay kumuha tayo ng dalawa pang magkakaibang punto at kalkulahin para sa kanila:
Simulan natin ang pagbuo ng isang sangay ng parabola:
Kami ay simetriko na sumasalamin sa aming mga punto sa isa pang sangay ng parabola:
Ngayon bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay.
Kailangan namin itong mas mababa sa zero, ayon sa pagkakabanggit:
Dahil sa aming hindi pagkakapantay-pantay ang pag-sign ay mahigpit na mas mababa kaysa sa, ibinubukod namin ang mga punto ng pagtatapos - "butas".
Sagot:
Malayo, tama? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isang mas simpleng bersyon ng graphical na solusyon gamit ang halimbawa ng parehong hindi pagkakapantay-pantay:
Bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay at markahan ang mga agwat na kailangan natin:
Sumang-ayon, ito ay mas mabilis.
Isulat natin ngayon ang sagot:
Isaalang-alang natin ang isa pang solusyon na nagpapasimple sa bahagi ng algebraic, ngunit ang pangunahing bagay ay hindi malito.
I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:
Subukang lutasin ang sumusunod na quadratic inequality sa iyong sarili sa anumang paraan na gusto mo: .
Inayos mo ba?
Tingnan kung paano lumabas ang aking graph:
Sagot: .
Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!
Paano mo ito gusto:
Ang creepy, di ba? Sa totoo lang, wala akong ideya kung paano lutasin ito sa algebraically... Ngunit hindi ito kailangan. Sa graphically, walang kumplikado tungkol dito! Ang mga mata ay natatakot, ngunit ang mga kamay ay gumagawa!
Ang unang bagay na sisimulan natin ay sa pamamagitan ng pagbuo ng dalawang graph:
Hindi ako magsusulat ng isang talahanayan para sa bawat isa - sigurado akong magagawa mo ito nang perpekto sa iyong sarili (wow, napakaraming mga halimbawa upang malutas!).
Pinintahan mo ba ito? Ngayon bumuo ng dalawang graph.
Ihambing natin ang ating mga guhit?
Ganun din ba sayo? Malaki! Ngayon ay ayusin natin ang mga intersection point at gamitin ang kulay upang matukoy kung aling graph ang dapat nating magkaroon ng mas malaki sa teorya, iyon ay. Tingnan kung ano ang nangyari sa huli:
Ngayon tingnan lang natin kung saan mas mataas ang napili nating graph kaysa sa graph? Huwag mag-atubiling kumuha ng lapis at pintura sa lugar na ito! Siya ang magiging solusyon sa ating kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!
Sa anong mga pagitan sa kahabaan ng axis mas mataas tayo? Tama, . Ito ang sagot!
Kaya, ngayon ay maaari mong pangasiwaan ang anumang equation, anumang sistema, at higit pa sa anumang hindi pagkakapantay-pantay!
Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang mga function graph:
Para sa higit pang impormasyon tungkol sa pagbuo ng mga function graph, tingnan ang paksang "".
